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Full text of "Nozioni Elementari Di Geometria Intuitiva"

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R. UNIVERSITÀ 


INVENTARIO 


R. UNIVERSITÀ - PADOVA 


NOZIONI ELEMENTA 


PADOVA 


4 a EDIZIONE 


Padova - FRATELLI DRUCKER - Padova 
Librai Editori 




Proprietà riservai 



Padova - Arti Grafiche P. Prospertni - Soc. An. 


INDICE 


Cap. I. 


Nozioni Preliminari 

. 



• Pag. 

i 

La retta ..... 

. 



« 

6 

Rette parallele 





*3 

Il piano 




. » 

16 

Delle figure eguali . 




. » 

20 

Rette perpendicolari 




. » 

24 

Poligoni piani .... 




» 

27 

Il circolo ..... 




. » 

34 

Triangoli eguali 




. » 

38 

Angoli di rette parallele con una 

linea trasversale 

. » 

4T 


Cap. II. 


Rette e piani perpendicolari fra loro 




» 

46 

Poliedri ....... 




» 

49 

Cono - cilindro - sfera .... 




» 

52 

Addizione e sottrazione di segmenti 




» 

54 

Addizione e sottrazione di angoli . 




» 

57 

Misura dei segmenti e degli angoli 




» 

59 

Aree . . . . 




» 

62 

Volumi ....... 




» 

73 

Esercizi ....... 




» 

79 

Cap. III. 

Istrumenti ed oggetti di disegno 



. 

» 

84 

Costruzioni fondamentali 




» 

87 

Costruzioni dei poliedri con cartoncino 




» 

T O I 

La retta, il piano e lo spazio illimitati . 




» 

104 



CAPITOLO I 


Nozioni preliminari 


1. Un tavolo, un calamaio, un fogdio di carta, 
una casa, un albero, la terra, la luna, il sole . . . . 
sono corpi ; un ora, una forza, un’idea .... non sono 
corpi. 

L’ estensione, il peso, il colore, la temperatura, la 
elasticità, la rigidezza .... sono proprietà dei corpi. 
Se di tutte le proprietà generali dei corpi noi consi- 
deriamo solamente qualcuna, ad es. la estensione, non 
tenendo conto delle altre, si producono in noi delle 
idee astratte. 

I corpi considerati rispetto alla estensione, fanno 
nascere o risvegliano in noi 1’ idea di qualche' cosa 
che li contiene, e che chiamasi ambiente esterno o 
spazio ; perciò suolsi dire che ogni corpo occupa una 
parte dello spazio, la quale chiamasi posto , luogo, o 
posizione di esso corpo: se leviamo un corpo dal posto 
che esso occupa, questo posto può essere occupato da 
un altro corpo, ad es. dall’aria circostante. 

2. Un granellino di sabbia, 1’ estremità di una 
punta sottile, un corpo che si consideri come non 
scomponibile in parti, oppure un piccolo seg'no fatto 


i 


sulla carta o su altro corpo dalla punta di una ma- 
tita, .... sono punti materiali. 

Dall’ immagine di punto materiale si ha 1’ idea 
astratta del punto. 

Il punto si indica generalmente con una lettera maiuscola. 

Siccome esistono diversi corpi, così possiamo dire: 

Esistono punti distinti. 

Uno stesso punto può essere indicato con lettere diffe- 
renti ad es. con A e con B : in tal caso diciamo che i punti 
A e B coincidono ; ma in realtà è un solo punto che si di- 
nota con due lettere diverse. -Così, allorquando cerchiamo un 
punto B e troviamo che esso deve essere un punto A e 
non altri, diciamo che A e B coincidono. Similmente allor- 
quando noi trasportiamo 
un pezzetto di carta sul 
quale sia segnato un 
punto 5, in modo che 
i due punti A e B si 
trovino l’uno sopra l’al- 
tro, così da poterli ritenere come un unico punto, diciamo 
ancora che in quella posizione A e B coincidono. 

3. Un filo sottile, 1’ orlo di un foglio, il segno 
tracciato da 'tana matita sopra un corpo facendola scor- 
rere su di esso, .... considerati come composti di 
punti materiali, sono linee materiali. 

Dall’immagine di linea materiale si ha l’idea astratta 
di linea. 

La linea si indica con una lettera minuscola, oppure con 
più lettere maiuscole. 

4. Segnando in una linea dei punti X Y Z, vicini gli 
uni agli altri, e così seguitando si avrà sulla linea un gruppo 
di punti succedentisi in due ordini o versi differenti, come 
sarebbe a dire nel verso da sinistra a destra, e nel verso da destra 




3 


a sinistra. E fissato un punto A', gli altri punti della linea, 
considerati in un verso, ad es. da 
A verso B, si separano in due classi , 

-così che quelli di una classe, come 
A, V, precedono X , e quelli del- 
l’altra, come Y , Z, B, seguono X : 

, e se X precede F, Y segue AT; e 

se X precede Y ed 1' precede A, anche A piecede Z. 

Sistema lineare di punti, dice»i un gruppo di 
punti, il quale sia ordinato secondo due versi, l’uno 
opposto all’ altro. 

Le linee sono sistemi lineari di punti. 

5. Un punto di una linea che non è preceduto, o che 
non è seguito da alcun altro punto dicesi estremo. 

I punti A e B della linea tracciata nella figura prece- 
dente sono gli estremi della linea. 

Una parte X.Y di linea è pure una linea, e di- 
cesi anche segmento. Ogni punto che appartiene ad 
un segmento, e non è uno degli estremi, dicesi punto in- 
terno al segmento; ogni punto della linea a cui ap- 
partiene il seg'mento e non sia nè un estremo del 
segmento nè interno ad esso si dice esterno al seg'- 
mento medesimo. 

6. Se 1’ ultimo estremo B di una linea A... B, con- 
siderato a sè, coincide col primo 
estremo A, la linea dicesi chiusa. 
Quando però si considera la linea 
AB percorsa da A verso B, il 
punto B segue A. 

Una linea che non è chiusa 
chiamasi aperta. 

7. Un velo sottile, una pagina di un libro, ciò 




4 


che noi vediamo di un corpo, .... si chiamano stiper- 
Jicie materiali. 

Dall’ immagine di superficie materiale si ha l’idea 
astratta di superfìcie. 

Una superficie si indica con più lettere o minuscole o 
maiuscole. 


Sopra s ogni superficie materiale possiamo segnare tanto 
dei punti, come delle linee. Possiamo segnare anche delle 
linee aventi, un punto A in comune e che si seguono in due 
ordini, indicati ad es. dalle treccie. Ma se noi segniamo su 

queste linee dei punti, non possiamo 



più dire di avere sulla superficie un 
sistema di punti dotato di due tali or- 
dini, uno opposto all’altro, come in 
una linea ; abbiamo invece un sistema 
di punti ABCDEF... che si pos- 
sono considerare in quanti ordini si 


vogliano. 


8. Ogni og’getto, il quale non sia nè punto, nè 
linea, nè superficie, dicesi solido materiale. 

Dall’ immagine di solido materiale abbiamo l’idea 
astratta di solido. 

Se si considera un solido di- 
viso in parti, ciò che termina una 
di queste parti è una superficie. Noi 
possiamo segnare dunque su ogni 
solido delle superficie S, S', S" . . . che 
si seguono in due ordini, come sopra 
ogni superficie possiamo segnare delle 
linee che si seguono in due ordini, e sopra ogni linea dei 
punti che si seguono pure in due ordini. 



9. I punti, le linee, la superficie, i solidi, e ogni altro 
gruppo di punti, considerato come ente unico, diconsi 
fìgitre geometriche, o talvolta solamente figure. 



5 


punti materiali. ■ linee, le superficie e i solidi ma- 
teriali, e in generai^ gruppi di punti materiali servono di 
incentivo e di aiuto alla formazione della idea astratta di fi- 
gura, e ci forniscono coll’ immediata osservazione o mediante 
qualche semplice operazione eseguita su di essi, alcune pro- 
prietà che si assumono per comune consenso come proprietà 
primitive delle figure. Altre proprietà delle figure si possono 
tanto ricavare dall’osservazione immediata dei gruppi di 
punti materiali corrispondenti ad esse figure, quanto dedurre 
per mezzo di ragionamento da proprietà precedentemente 
stabilite. Il primo metodo dicesi pratico , il secondo ragionale *). 

I due metodi si aiutano e si completano a vicenda; il 
primo serve di incentivo e di verifica al secondo, e il secondo 
serve a stabilire con precisione le stesse proprietà primitive 
e a far conoscere le relazioni e le leggi geometriche che 
governano le figure, e quindi anche i corpi e l’ambiente 
che li contiene. 

È per questo che anche i gruppi di punti materiali si 
chiamano figure. 

La Geometria è la scienza delle figure. 
DOMANDE ED ESERCIZI 

Citare qualche esempio di corpi — qualche proprietà gene- 
rale dei corpi. 

Citare qualche esempio di punti materiali di linee materiali. 

Sopra una linea segnare un punto A, indi le due direzioni 
della linea, con una freccia, e i punti B C D in modo che, in una 
stessa direzione, B segua A, C segua B e D segua C. Come si 
chiama l’insieme dei punti A B C D così disposti? 

II gruppo delle stelle dell’Orsa maggiore noi) è un sistema 
lineare di stelle ; renderlo tale assegnando alle stesse stelle indi- 
cate con A, B, C, B>, E , E, G, un determinato verso. 

In che differisce una linea chiusa da una aperta ? 

Disegnare a mano libera dei sistemi lineari aperti, chiusi 
(a punti, a tratti, a tratti e punti alternati, a tratto continuo). 

Citare qualche esempio di superficie materiale — di solido. 


*) In questo libro facciamo uso del metodo pratico, come 
preparatorio al metodo razionale 


6 


La retta. 

10. Un filo teso, ad es. un filo a piombo, un 
raggio di luce che entra per un forellino in una ca- 
mera oscura .... sono oggetti rettilinei. 

L’immagine degli oggetti rettilinei ci dà l’idea della linea 
che chiamasi linea retta, o solamente la retta. 

11. ''Si possono costruire delle rette a mano libera con 
la matita; ma per tracciarle con maggiore esattezza si la uso 
di un istrumento di legno o di metallo che si chiama nga~ 
basta 'far scorrere la punta di una matita lungo l’orlo della 
riga stessa tenuta ferma sul foglio da disegno. 



Quanto più 1’ occhio nostro è assuefatto all’ immagine 
della retta, tanto più ci si accorge se una riga è, o non è, 
esatta. Ad es. la riga CD non è esatta. 

Ove la riga non bastasse, si fa talvolta uso anche di uno- 
spago teso fra i due-punti A e B, facendo scorrere la punta 
della matita lungo lo spago, oppure annerendo, come fanno 
i decoratori di camere, lo spago con carbone, e poi, quando 
esso è teso, alzandolo nel mezzo e facendolo cadere sulla parete. 


12. Ogni segmento della retta dicesi anche tratto ■ 
rettilineo, o solamente segmento, o tratto. 

La retta ricavata dall’osservazione è terminata nei suoi 

due versi da due punti 
•* — v distinti ; nella maggior 


B 


parte dei casi essa è 
contenuta in un’altra retta, come ad es. AB è contenuta in 
CD. La linea retta, la cui immagine noi ricaviamo dalla os- 
servazione di oggetti rettilinei, è bensì un tratto rettilineo,. 


7 

ma non teniamo conto che sia limitato da due certi punti, 
piuttosto che da due altri punti. Cosi per linea retta AB in- 
tendiamo anche il tratto CD, e un tratto EF, se CD è con- 
tenuto in AB, e cosi di seguito. 

I versi della retta si chiamano anche direzioni. 

Una linea composta di rette dicesi spezzata retti- 
linea o spezzata; una linea che non è retta, nè com- 
posta di rette, dicesi curva. 

13. Sopra una retta segniamo con una riga AB il seg- 
mento CD, indi, spostando la riga stessa AB, segniamo il 
segmento EF. Confrontando i due segmenti CD ed EF, noi 
giudichiamo senza alcuna incertezza che sono eguali. 


(1 DE P 



14. Se un segmento a è eguale ad un altro sega- 
mento b, si scrive : a=b. 

Qualunque sia il segmento a, si può ben dire 
che : a =a. 

E se a~ b, si ha che : b — a. 

E se a = b, e b = c si ha che : a = c. 

Per indicare la eg-uaglianza può anche usarsi il 
segmo =, finché questo non si adoperi con altro si- 
gnificato. 

Se i segmenti CD ed ED sono eguali, ciò si espri- 
me anche dicendo che i due punti C e D hanno tra 
loro distanza eguale a quella dei punti E ed F. 

15. La eguaglianza di due segmenti, quando si tratti di 
oggetti rettilinei, come nelle presenti Nozioni, si verifica pra- 
ticamente in diversi modi, più o meno precisi. Talvolta la 
verificazione si fa ad occhio, come ad occhio si può segnare 
sulla retta r un segmento AB, eguale ad un segmento AB', se 
l’occhio è bene esercitato, e se si tratta di piccoli segmenti. 


8 


\ 

E noto che i soldati sono esercitati ad apprezzare ad occhio 
anche grandi distanze. Se si tratta di piccoli segmenti AB ed 
AB' si fa uso anche di una lista di carta, il cui orlo supe- 
riore si fa combaciare con la retta r, e si segnano sulla lista 
i punti C e D che combaciano con i punti A e B, indi si 


A 

c 


X 

E 



X if 

E D 


trasporta la lista in modo che C venga a combaciare con A' 
e la retta CD della lista con la retta AB' della r: se anche 
i punti B' e D combaciano, allora i due segmenti AB ed AB' 
sono eguali. 

Anche in questo caso l’ approssimazione sarà tanto mag- 
giore quanto più la lista di carta si manterrà nelle condizioni 
di prima; se ad es. la lista non si mantenesse egualmente 
tesa, allora AB non sarebbe più eguale ad AB'. 

Per segnare segmenti eguali e per verificare l’eguaglianza 
di due segmenti, si fa uso anche del compasso. 
Esso si compone di due asticelle di legno o di 
metallo, unite insieme nella parte superiore per 
mezzo di una cerniera, in modo che si possono 
allontanare ed avvicinare. Le due asticelle ter- 
minano in due punte sottili,- ordinariamente di 
acciaio. 

Per verificare se i due segmenti AB edA' B' 
sono eguali, si appoggia la punta fissa in A e 
si apre l’altra finché viene a combaciare in B. 
Si trasporta poi il compasso in modo che la prima punta 
venga in A‘ ; se l’altra passa per B ' , allora AB=A'B'. 

Ei anche in questo caso l’approssimazione sarà tanto più 
grande quando più esercitati si sarà nell’ uso del compasso, 
così che nel trasporto le punte non si siano discostate. 

La eguaglianza di due segmenti si deduce anche, e più 
spesso, per via di ragionamento. Così ad es. sapendo che 
CD — AB e che EF^AB deduciamo che CD^EF. 

La Geometria poi insegna come con altri mezzi si pos- 




9 

sano segnare praticamente dei segmenti eguali sopra la retta, 
anche quando essi non possono essere costruiti colla lista di 
carta o col compasso nel modo anzidetto. 

16. Trasportando, come abbiamo fatto precedentemente, 
la lista di carta CD dalla posizione che ha in AB a quella 
che ha in A'B' si vede che ogni punto E di CD combacia 
con un punto X di AB, e questo viene trasportato in un 
punto X di A'B', il quale corrisponde così al punto X di AB. 
I segmenti AX, XB sono rispettivamente eguali ai segmenti 
A'X X'B' di guisa che si può dire: 

Se (lue segmenti sono eguali, ad ogni punto 
dell’uno corrisponde un solo punto dell’altro, e le 
parti, che hanno per estremi punti corrispondenti, 
sono fra loro eguali. 

17. Prolungamento di un segmento AB dicesi 
un altro segmento BC o AD situato sulla stessa retta, 
nella direzione da A a B o da B ad A. 

La retta, quale deriva dagli oggetti rettilinei, è sempre 
limitaia, per quanto possa essere prolungata praticamente, o 
intuitivamente. 

n A B (t 


18. Le seguenti proprietà di qualsiasi oggetto rettilineo 
sono proprietà fondamentali della retta considerata a sè : 

Ogni segmento della retta non è uguale ad una 
sua parte. 

Ad es. il segmento AB della figura precedente non è 
eguale a DC. Ciò si verifica in ogni caso o ad occhio, o 
colla lista di carta o col compasso. 

Sempre che V estensione del campo della nostra 
osservazione lo permetta, possiamo verificare che : 

Dati nella retta, un punto A e un segmento 


IO 


XY, vi sono nella direzione XY due segmenti CA 
ed AB eguali ad XY. 

Per la verifica basta far uso della solita lista di carta 

segnando dapprima su di essa 

— - S— i — r un segmento eguale ad XY 

e facendola scorrere lungo la 
retta r nella direzione della freccia. 

Ogni segmento della retta è invertibile. 

Così il segmento AB è eguale allo stesso segmento, con- 
siderato nella direzione opposta BA. Non possiamo dire la 
stessa cosa del segmento AB di una linea 
qualunque, come di quello qui accanto dise- 
gnato, perchè in esso la linea ha, verso 
l’estremità B, una forma diversa da quella 
che ha verso A e ricalcandola sopra un 
pezzo di carta da lucidi non potremmo 
rovesciandolo, far combaciare il segmento 
AB col segmento BA. 

Per verificare che il segmento rettilineo AB è eguale al 
segmento BA basta ricorrere alla lista di carta o ad un filo 
teso o al compasso. 



3 Y 


19. Un seg'mefito AB, che è eguale ad una parte 
di un altro segmento CD dicesi minore di CD; e 
CD dicesi maggiore di AB. Ciò si esprime scrivendo : 
AB < CD, oppure : CD > AB. 


Si verifica coi soliti mezzi, ed anche ad occhio che, dati 



due segmenti rettilinei, ha 
luogo uno ed uno solo dei 


tre casi seguenti: AB CD, 
'V AB < CD , AB > CD. 


20. Altre proprietà della retta, considerata in sè cioè 
senza uscire da essa, sono le seguenti : 

Ogni segmento viene diviso da un suo punto 



1 1 

ili due parti le quali non hanno alcun altro punto 
in Comune, vale a dire: il segmento e una linea 
aperta. 

•L’immagine stessa dell’oggetto rettilineo ci assicura della 
verità di questa proposizione: e questa si verifica anche per 
la retta, essendo essa, per quanto possa venir prolungata nel 
campo della nostra osservazione, pur sempre limitata da due 
punti. 

21. Una retta limitata ad un punto e che si può 

prolungare in una sola dire- 
zione a partire da esso, dicesi - r . 

raggio. 

I due raggi nei quali viene divisa una retta da 
un suo punto diconsi raggi opposti. 

22. La proprietà, fondamentale della retta, considerata 
rispetto alle altre linee, è la seguente : 

Se una retta ha due punti A e B che coinci- 
dono con due punti C e D di un’altra retta, anche 
gli altri .pnnti della prima, o dei prolungamenti 
della prima, coincidono uno per uno con gli altri 
punti della seconda o dei suoi prolungamenti. 

La proprietà suddetta si verifica trasportando un oggetto- 
rettilineo finché venga ad avere due punti in comune con un 
altro oggetto rettilineo; allora essi appartengono ad una me- 
desima retta, vale a dire ogni punto dell’ uno coincide con 
un punto dell’altro o con un punto del suo prolungamento. 

Segnati dunque due punti sul foglio del disegno vi è 
una ed una sola retta che contiene quei punti, o, come si 
suol dire, che passa per quei due punti. Alcune volte si 
esprime questa importante proprietà della retta dicendo che 
essa è individuata o determinata da due dei suoi punti. 


Riepilogando, le proprietà primitive della retta 
sono : 

0 Ogni segmento della retta non è ugnale 
ad una sua parte. 

2 ) Ogni segmento della retta è. invertibile. 

Per quanto lo permetta la estensione dell’ osser- 
vazione : 

3 ) Si può segnare sulla retta nell’uno e nel- 
l’altro verso a partire da qualunque suo punto un 
segmento eguale a qualsiasi altro segmento dato 
di essa. 

4 ) Il segmento è una linea aperta. 

5) La retta è individuata da due suoi punti. 

DOMANDE ED ESERCIZI 

Citare qualche esempio di' oggetto- rettilineo. 

Con quali mezzi si può disegnare un segmento rettilineo ? 

Tracciato un segmento AB costruire un altro segmento CD 
che sia tutto contenuto in AB \ costruire un altro segmento EF 
che sia pure contenuto in AB e che sia eguale’ a CD. 

Dati due segmenti a e b quanti e quali casi si possono ve- 
rificare mettendoli a confrónto ? Q li and’ è che si dirà che a è 
maggiore di b e quando minore ? < 

Quali sono le proprietà fondamentali delia retta ? 

23. Ogni segmento AB della retta è divisi- 
bile per metà. 

Tracciando un segmento AB sopra l’orlo di una lista di 
carta e ripiegando questa in modo che B cada in A, la ri- 
piegatura stessa scompone il seg-' 
A K B mento in due parti eguali, AM 

ed MB. 

Il punto M dicesi punto medio o punto di meno del 
segmento AB , e i segmenti AM, MB si chiamano opposti 
rispetto al punto M, o da bande opposte del punto M. 




1 3 

24. Dicesi regione angolare «IL due raggi, o cop- 
pia completa di due raggi a e b che si incontrano, 

la figura costituita dai punti di 
questi due raggi e dai punti di 
tutti i segmenti, che uniscono 
comunque un punto dell’ uno 
con un punto dell’altro. Il punto 
comune V dei due raggi a e ò 
dicesi il vertice della regione 
angolare o punto d’ incontro dei 
due raggi a e ò ; e i raggi stessi diconsi i lati della 
regione medesima (o della coppia completa). 

La regione angolare dei due 
raggi <z, b si indica coi segni 
( ab ) od : ab , od anche : A VB. 

Due regioni angolari 
(due coppie complete di 
raggi) di raggi opposti (ab) . 
e (a'b') si dicono regioni 
angolari fra loro oppo- 
ste al vertice. In due regioni angolari di raggi' fra 
loro opposte al vertice i raggi dell’ una sono i pro- 
lungamenti dei raggi dell’altra. 



Rette parallele. 


25. Due punti A e A', equidi- 
stanti da un stesso punto O della 
retta AA' che li congiunge diconsi 
fra loro opposti al punto O. 

Due figure ABC.... ABC',;, nelle 
quali i punti dell’ una sono opposti, 
ciascuno a ciascuno, ai punti dell’ al- 



B 


A’ 


14 


tra, rispetto ad un punto O, diconsi figure opposte 
1’ una all’ altra rispetto al punto O. 

La figura opposta aduna retta rispetto ad un 
punto è un altra retta. 

Abbiasi infatti una retta ABC..., e si costruisca la figura 
opposta AB' C' ... rispetto ad O. 

Si verifica col compasso, oppure ricalcando la figura OAB 
su una carta da lucidi e rovesciando in modo che OA venga 
a combaciare con OA', e OB con OB'. che il punto C' è 

situato sulla retta r, 
determinata àa.B'eA r . 

I segmenti AA', 
DB'... che uniscono 
dei punti di r con 
dei punti di r' si 
dicono trasversali 

delle due rette r ed r . 



26. Se r ed r sono due rette opposte rispetto al punto 
di mezzo O di una loro trasversale AA e se sono dati due seg- 
menti CD e CD' eguali delle due rette non opposti rispetto 
ad O , si verifica facilmente, che essi sono opposti rispetto ad 
un altro punto O ' , che è punto medio dei segmenti CC', 
DD' . Quindi si può dire che : 

Se due rette sono opposte rispetto ad un punto, 
due segmenti qualunque eguali fra loro situati uno 
sopra una delle due rette e 1’ altro sull’altra sono 
pure opposti rispetto ad un punto. 

Due rette diconsi a B C D 

parallele se l’una è 

la figura opposta al- \ / \ 

1’ altra rispetto ad un Vo YjT 


punto. 

Per decidere dunque 
se due rette date a e b 




15 

sono parallele si procederà così : Si unisca un punto A della 
prima con un punto A' della seconda ; si dimezzi il segmento 
AA' in O e si unisca un altro punto B della prima retta con 
O. Se il prolungamento di BO incontra la seconda ret- 
ta in un punto B' e tale che BO sia eguale a OB , la seconda 
retta si dirà parallela alla prima. 

Data la retta r e il punto A' fuori di essa, e condotta 
la trasversale A' A e determinato il punto medio O di AA‘ e 
il punto B‘ opposto di B rispetto ad O, la retta AB' è pa- 
rallela ad r, ed è unica perchè è possibile costruire un solo 
punto B' opposto a B. Dunque: 

Per un punto A dato fuori di una retta r e 
dei suoi prolungamenti si può condurre una ed una 
sola retta r’ parallela a quella retta r. 


DOMANDE ED ESERCIZI 





Che significa che i punti A ed A' sono opposti 1’ uno al- 
l’altro rispetto ad un dato punto O ? ; che una figura F è op- 
posta ad un’altra F' rispetto ad O ? 

Quale è la figura opposta ad una retta rispetto ad un punto 
O preso fuori di essa ? 

Che significa che due rette sono fra loro parallele ? 

Disegnare a mano libera e in varie posizioni rispetto al di- 
segnatore : dei segmenti a punti, a tratti, a tratto e punti alter- 
nati, a tratto continuo : 

un segmento eguale ad un altro dato, segnando su di essi 
alcune coppie di punti corrispondenti (nella loro corrispondenza 
di eguaglianza) ; 

I prolungamenti di un segmento dato, entro i limiti del 
foglio del disegno. 

Data una figora ABCDEF costruire la figura opposta rispetto 
ad un dato punto O. 

Dividere un segmento dato in due, quattro, otto parti 
eguali. 

Condurre per un punto la parallela ad una retta. 


1 6 


Il piano. 

27. La superficie di uno specchio d’ acqua in ri- 
poso, un foglio steso sopra una tavoletta, una faccia di 
un cristallo...., sono oggetti piani. 

L’immagine degli oggetti piani ci dà l’ idea della 
superficie piana. Se si immaginano prolungate per 
quanto è possibile le rette di una superficie piana, 
la figura che si ottiene si chiama piano. 

Le seguenti proprietà di ogni oggetto piano sono pro- 
prietà fondamentali del piano: 

Ogni retta che unisce due punti di un piano 
giace tutta quanta nel piano. 

Il piano è determinato : 

i) da una retta e da un 
punto situato fuori di essa e 
dei suoi prolungamenti : 

Con ciò intendiamo dire che 
dati una retta ed un punto fuori 
di essa o de’ c. ni prolungamenti, 
vi è un piano e<. uno solo che 
contiene quella retta e quel punto 
o, ciò che è lo stesso, che’ogni al- 
tro piano il quale contenesse la medesima retta e il medesimo 
punto coinciderebbe punto per punto col primo. 

Si segnino due punti A e B di un foglio di carta piano, 
e si tracci la retta AB , la quale sarà tutta contenuta nel 
piano del foglio: imaginando che un secondo foglio di carta 
pure piano giri attorno alla retta AB a guisa di porta intoimo 
ai suoi cardini, tosto che questo secondo foglio si troverà in 
tale posizione che un suo punto coincida con un punto C 
del primo foglio che non sia sulla retta AB, i due fogli com- 
bacieranno punto per punto. 





J 7 

2) da tre punti che non sono in linea retta: 

Tre punti ABC non situati in linea ' retta determinano 
pure il piano, perchè congiungendone due A e B di essi 
con una retta AB si ricade nel caso precedente. 

3) da due rette che s’incontrano in un punto : 

Se si tratta di due rette AB e A C le quali si incon- 
trano in A, basta osservare che i tre punti ABC non sono 
in linea retta e così si ricade nel caso 2). 

4) da due rette parallele. 

Se a e b, sono due rette 
parallele, e se O è il punto p. 
medio di un loro segmento tras- 
versale AB, si osserverà che il 
piano determinato da O e dalla 
retta a contiene le rette OA e 
OC, e quindi i punti D e B, 
quindi la retta b ; cioè le parai- ^ . 
lele a e b giacciono nell’ unico 
piano individuato dal punto O e dalla retta a o b. 

Riepilogando, le proprietà essenziali del piano 
sono : 

Ogni retta che unisce due punti di un piano 
giace tutta sul piano. 

Il piano è individuato : 

1) da una retta ed un punto* situato fuori di 
essa ; 

2) da tre punti che non sono in linea retta; 

3) da due rette che s’incontrano in un punto; 

4) da due rette parallele. 

% 

28. Tutte le rette del piano che passano per un 
punto P di esso, o tutti i raggi del piano uscenti dal 
punto P, costituiscono una figura che chiamasi fascio 
di rette o fascio di raggi. E il punto P dicesi il 
centro del fascio. 



1 8 

I raggi del fascio si seguono in due ordini 
che si chiamano' : versi del 
fascio. Partendo da un rag- 
gio a in uno dei suoi versi, e 
percorrendo tutto il fascio si 
torna al raggio a. È perciò 
che il fascio dicesi chiuso. 

29 . Una parte del fascio 
limitata da due raggi a e ò 
dicesi angolo. I raggi a e ò sono i lati, e il loro 
punto d’ incontro V è il vertice dell’ angolo. 

L’angolo si indica col segno ab , o con (ab) od ancora 
se A e B sono due punti dei raggi a b, e V il loro punto 
d’ incontro, con A VB o con A VB. 

Un angolo dicesi convesso se i prolungamenti 

dei suoi lati sono esterni 
. . i ; . , li all’angolo ; dicesi piatto 

■: ■ se i suoi lati sono sulla 

d - . • - ' ■ \Ò.VÙ • ; ]: h ; ; X t , medesima retta e opposti 

: : : . rispetto al vertice ; di- 

cesi concavo se non è 
A T 7 " ^ v 

nè convesso nè piatto. 

Due raggi a e b di un fascio determi- 
nano due angoli: questi angoli costituiscono A 
nel loro insieme l’ intero fascio. 

Per angolo di due raggi a e b si 
intende sempre e da tutti 1’ angolo non 
concavo, eccetto che non si dica diver- 
samente. 

I versi dell’ angolo sono determi- 
nati da quelli di un segmento AD che si appoggia al 
lati dell’ angolo. 





- »9 


L’angolo di due raggi, e la regione angolare di due 
raggi con vertice, non sono propriamente la stessa figuia, 
l’angolo appartiene alla regione angolare. Ad es. 1 angolo AVB 
appartiene alla regione angolare dei raggi a b perchè i ìaggi 
dell’ angolo incontrano il segmento AB e quindi appartengono 
alla regione stessa. Il divario fra la regione 
angolare di due raggi (considerata come su- 
perfìcie) e l’angolo, sta in ciò che la legione 
è un sistema di punti composto dei punti dei 
due raggi dati, e dei punti dei segmenti che 
li uniscono a due a due, mentre l’angolo è un 
sistema di raggi uscenti da uno stesso punto ; 

- in altre parole la regione angolare è una 
t porzione di piano cioè una superficie e l’an- 
golo è una porzione di fascio , cioè un sistema 
lineare di raggi. È, se vogliamo, lo stesso ente, ma considerato 
composto in due diversi modi: così avviene che ad es. un 
esercito ora lo consideriamo come un insieme di soldati, ora 
•come un insieme di compagnie ed ora come un insieme 
di brigate. 

30 . IAu e angoli si dicono adiacènti se hanno il 
vertice in comune, un lato in comune e gli altri due 
lati posti sulla medesima retta e da bande opposte. 

Ad es. i due angoli A VC, CVB della figura al n. 29 
sono adiacenti. 

Due angoli adiacenti costituiscono adun- 
que nel loro insieme un angolo piatto. 

Due angoli diconsi opposti al ver- 
tice se i lati dell’ uno sono i prolunga- 
menti dei lati dell’ altro. 

Ad esempio gli angoli A VB, A' VE', 
sono opposti al vertice. 



1) 'di' 



20 


DOMANDE 'ED ESERCIZI. 

Citare esempi di oggetti piani. 

Che nome si dà alla figura che risulta prolungando per 
quanto è possibile le rette di una superficie piana? 

Se una retta ha due dei suoi punti sopra un piano, ove 
giacciono tutti gli altri punti della retta? 

Che significa che un piano è determinato da una retta e da 
un punto fuori di essa; in quali altri modi si può determinare 
un piano ? 

Come è costituita la figura che si chiama fascio di raggi; 
che intendesi per angolo di due raggi uscenti da un medesimo- 
punto ? 

Che divario c’ è fra angolo ( ab ) e regione piana ( ab ) ? 

Che angolo è l’angolo che dicesi piatto ? 

Delle figure eguali. 

31 . Se noi abbiamo ad es. due pezzetti di carta ABCD e 
ABCD e se possiamo verificare che trasportando il primo 
sul secondo ogni punto del primo coincide con un punto 
del secondo pezzetto, e ciascun punto del secondo coincide 
con un punto del primo, noi giudichiamo subito che i due 
pezzetti di carta sonò eguali. 

Sottintendiamo però che il 
pezzetto di carta sia un 
corpo rigido , vale a dire 
non si deformi durante il 
trasporto. Il pezzetto di 
carta ABCD sarà eguale 
ad A ’B' O D' anche se per 

caso avessimo un terzo pezzetto di carta tBXJM il quale 
trasportato convenientemente sul primo ABCD combaciasse 
in tutto con esso, e trasportato poi sul secondo A B' C D 
combaciasse in tutto anche con questo. 

Però nel momento in cui i due pezzetti ABCD e ABC' D' 
combaciano l’uno coll’altro, possiamo ben dire: i) che ad ogni 
punto dell’uno corrisponde un unico punto dell’altro (quello 



21 


•che con esso coincide), 2) che i segmenti che congiungono a 
due a due i punti del primo sono rispettivamente eguali ai 
segmenti che congiungono i punti corrispotidenti del secondo- 

Così se un corpo si trasporta da una posizione M ad v 
un’altra N, fra le figure M ed N valgono le stesse proprietà 
x) e 2) riscontrate peri due pezzetti eguali ABCD, AB' C!D'. 

Se poi consideriamo un solo pezzetto ABCD e lo poniamo 
a confronto con la sua immagine A" B" C' D" prodotta da uno 
specchio piano, non abbiamo alcuna difficoltà a ritenere che 
ABCD è eguale ad A" B' C" D’\ sebbene in questo caso *non 
sia possibile verificare l’eguaglianza mediante il trasporto di 
ABCD ; e ciò perchè i due oggetti ABCD , A"B"C"D", con- 
siderati ciascuno a sè, ci si presentano in tal modo, che ogni 
proprietà o giudizio che si può esprimere dell’ uno si può 
anche dire dell’ altro. Così noi diciamo ad es. che il pollice 
della mano sinistra è eguale al pollice dell 1 mano destra 
sebbene non sia possibile fare la verifica mediante il trasporto 
dell’uno sull’altro; ma solo perchè le impressioni tattili, vi- 
sive ... dell’uno e dell’altro ce li fanno apparire come tali. 

Anche del pezzetto ABCD e della sua immagine A" B" C" D" 
possiamo dire, nel momento che li riconosciamo eguali, che: 

1) ad ogni punto dell’uno corrisponde un solo punto dell’ altro ; 

2 ) i segmenti che congiungono i punti del primo sono eguali 

a quelli che congiungono i pwiti corrispondenti del secondo. 

In generale allorquando nel confronto fra due oggetti 
distinti A e B, considerati ciascuno a sè, ogni giudizio che 
possiamo fare sopra l’uno possiamo ripeterlo per l’altro, noi 
diciamo comunemente che que’ due oggetti sono eguali. Ap- 
plicando questo criterio alle figure, abbiamo due specie di 
figure eguali; e cioè figure eguali per sovrapposizione, o 
per congruenza (o congruenti) e figure eguali per sim- 
metria (o simmetriche). 

Che due figure si possano riconoscere eguali o per con- 
gruenza o per simmetria, sta però sempre il fatto che: 

Due figure qualunque F ed F', le quali siano o 
parti di un piano, o parti dello spazio, sono eguali, 


22 


se a ciascun punto dèli’ una corrisponde un unico punto 
dell’ altra, e se sono fra loro eguali i segmenti che 

uniscono i punti corrispondenti. 

Se poi due figure F ed F' non fossero o parti di 
un piano o parti dello spazio, esse sono eguali se 
sono determinate da punti corrispondenti di altre due 
figure piane eguali, o di altre due figure solide eguali. 

Ad es. la figura composta dei tre punti ABC non si 
tuati in linea retta e dei punti situati sui segmenti AB^ AC, 
BC, senz’altro, non è propriamente una parte de piano, 
è una linea, non già una superficie; ma possiamo ben due 
che è perfettamente determinata da quell altra tigni a che e 
veramente una parte di piano che si ottiene congmngendo 
anche i punti del segmento AC con B. eco. Quando dunque 
noi avessimo due siffatte figure non parti di uno stesso piano. 



ma pure situate nel piano, per decidere della loro eguaglianza 
basterebbe osservare se sono déterminate da punti corrispon- 
denti di altre due figure piane, eguali fra loro. ) 


32, Esempi di figure eguali. 

Entro il campo dell’osservazione vediamo che e sempre 

verificata la seguente proprietà: 

• 

*) Dalla Geometria razionale, che parte dal criterio, quale 
noi abbiamo sopra esposto, per dedurre le regole che servono 
per la verifica e per la costruzione delle figure eguali, risulta ap- 
punto provata la verità del principio sopraccennato e cioè che 
ogni giudizio che si può esprimere t’per 1’ una si può esprimere 
anche per l’altra figura ad essa eguale. 


I 




2 3 

1. Date due rette, si può segnare in una delle 
due un segmento eguale a un segmento dato del- 
1’ altra. 

Se r ed r' sono le due rette, siccome una stessa riga EF 
può essere trasportata in modo da avere due dei suoi punti 
E .ed F in comune sia con A X E y 

due punti A e B di r, che 
con due punti A e B' di r 
ne risulta che AB = A'B'. 

Possiamo anche facilmente 
verificare che ai punti 
AXBY della r corrispondono i punti A'X'B'Y ' della r’ , e 
che i segmenti corrispondenti, come AB e AB' , sono eguali. 
Perciò si può stabilire tra le due rette una corrispondenza di 
eguaglianza anche se non sempre si può far corrispondere, 
nei limiti delle costruzioni pratiche, ad ogni punto dell’ una 
un punto dell’altra. 

2 . Una regione angolare (ab) è eguale alla sua 
inversa (ba), ossia la regione di cui il primo lato e a 
e l’altro ò è eguale alla regione di cui il primo lato 
è b e 1’ altro a. 

Un angolo (ab) è eguale al suo inverso (ba). 

Ricalcando sopra un pezzetto di carta da lucidi la regione 
(ab) e poi rovesciando la carta in modo che la copia di a 




*) Veramente qui trattandosi di rette e di raggi limitati sa- 
rebbe meglio dire : Una regione angolare di rette (raggi) eguali 
è eguale alla sua inversa. Un angolo di lati eguali è eguale al 
suo inverso. 


24 

combaci con b e le freccie rimangano le stesse, si trova che 
la copia di b coincide con a. Lo stesso dicasi per l’angolo. 

3. Due regioni angolari opposte al vertice sono 
eguali fra loro. Due angoli opposti al vertice sono 
eguali fra loro. 

Per verificare questa proprietà basta ricalcare la regione 
A VB sopra una carta da lucidi e farla poi combaciare con 
P altra, sia trasportando VA su VA' e VB su VB' senza 
uscire dal piano, come trasportando VA su 
VB’ e VB su VA' uscendo dal piano della 
figura B' VA'. 

Entro il campo dell’osservazione ve- 
rificasi pure che : 

4. Dati due piani, si può trac- 
ciare in uno di essi una figura eguale 
a qualunque figura dell' altro. 

Due fogli di carta piani egualmente estesi 
possono sempre farsi combaciare fra loro, o 
foglio pure piano. 

Rette perpendicolari. 



33. Ogni angolo AVB può essere 
diviso per metà. 

Per verificare questa proprietà si piega 
il foglio di carta sul quale sta descritto l’an- 
golo AVB in due, in modo che il lato VB 
venga a coincidere con VA ; il raggio VC , 
secondo il quale viene ad essere piegata la 
carta è appunto quello che dimezza l’angolo AVB, cioè 
tale che gli angoli AVC, CVB sono fra loro eguali. 



25 

La retta che divide per metà un dato angolo di- 
cesi bisettrice dell’ angolo. 

L’angolo metà di un angolo piatto dicesi angolo retto. 

34. Due rette diconsi fra loro perpendicolari se i 
quattro angoli da esse formati sono tutti eguali fra di loro. 

. La bissettrice di un angolo piatto è perpendicolare 
alla retta, sulla quale si trovano i due lati dell’angolo 
piatto medesimo. 


Ad es. la retta PC della figura è perpendicolare alla retta 
AB ; il punto P si chiama piede della perpendicolare CP. 
Invece la retta PD non è perpendicolare alla AB: la retta 
PD dicesi obliqua alla AB. 


Il segmento LA* compreso fra il punto Ce il piede 
P della perpendicolare condotta da C alla retta .AB 

dicesi segmento normale (o 
distanza) del punto C dalla 
retta AB. 

Distanza di due rette 
parallele dicesi un segmento 
normale alle due rette e com- 
preso fra esse. 



35. Se un angolo ab è eguale ad una parte cd ài un 
altro angolo, si dice che il primo ab è minore del secondo, 
oppure che il secondo cd è maggiore del primo; e si scrive: 
ab < cd oppure : de > ba. 

Dati due angoli ab e cd, si verifica sempre uno ed uno 
solo dei tre casi : ab < cd , ab = cd, ab > cd. 


36. Un angolo minore di un angolo retto dicesi acuto, 
e un angolo maggiore di un angolo retto dicesi ottuso. 

Nella fig. del num. 34 l’ angolo APC è retto, DPB è 
acuto e APD ottuso. 


2 6 


Per disegnare degli angoli retti si fa uso di uno stru- 
mento di legno, somigliante alla figura qui accanto, detto squadra 
e di cui i lati perpendicolari BA, BC in 
prossimità del foro circolare diconsi cateti 
e il loro punto d’incontro B vertice. 

Volendo condurre per un punto B' di 
una retta B' C la perpendicolare alla retta 
stessa B'C', basta far coincidere un cateto 
della squadra colla retta B'C' in modo che 
il vertice B della squadra cada in B’ ; indi 
si fa scorrere la punta di una matita lungo 
l’altro cateto BA della squadra a partire da B. Mediante la 
squadra si verifica poi che: 

Gli angoli rotti sono eguali fra loro. 

In uno stesso piano, da un dato punto, si può 
condurre una e una sola perpendicolare ad una 
retta data, del piano. 

DOMANDE ED ESERCIZI. 

Allorquando due oggetti piani combaciano punto per punto, 
che possiamo dire dei punti dell’ uno e dei punti dell’ altro og- 
getto ? e che possiamo dire dei segmenti che congiungono a due 
a due i punti che si corrispondono uno per uno ? 

Che significa che due parti di piano A" ed F’ sono fra loro eguali? 

Che significa che una figura F non è parte di piano? Citare 
qualche esempio. 

Che significa che due figure F ed F’ che non .sono parti di 
piano, sono fra loto eguali ? 

Che retta è la bissettrìce di un angolo ? 

Che significa che due rette del piano sono fra loro perpen- 
dicolari ? 

Che retta è la bissettrice di un angolo piatto ? 

Disegnare a mano libera e in posizioni diverse : 

un fascio di rette, un fascio di raggi, un angolo, e verificare 
se esso è convesso, piatto o concavo ; 

due angoli adiacenti ; due angoli non adiacenti ; 

due angoli opposti al vertice ; 

una coppia di raggi e l’angolo di due raggi. 


A 



27 


Date due figure eguali ABC, A'B'C' segnare i punti 
della seconda che corrispondono a certi punti xys.., segnati sulla 

prima. , 

Disegnare una figura del foglio di disegno che sia parte di 

un piano ; e un’altra che non sia parte del piano. 

Data una figura chiusa che non sia parte del foglio di dise- 
gno segnare la parte di piano da essa determinata. 

Dividere a mano libera un angolo datò per metà. 

Tracciare a mano libera un angolo retto. 

Condurre a mano libera e da un punto dato la perpendico- 
lare ad una retta data, quando il punto è sulla retta e quando 
esso è fuori o sia un estremo della retta. 

Poligoni piani. 

37. Diciamo poligono la figura data da tre o 
da più di tre punti del piano, i quali non siano a tre 
a tre in linea retta, e dalla linea chiusa costituita dai 
segmenti che li congiungono a due a due in un dato 
ordine. Secondo che i punti dati sono tre, quattro, cin- 
que, sei...., il poligono dicesi triangolo, quadrangolo, 

pentag’ono, esagono, ecc. 

* I punti dati si chiamano i ventici, e i segmenti 
che li uniscono a due a due nell’ ordine dato, lati del 
poligono. I segmenti che uniscono due vertici non con- 
secutivi diconsi diagonali, e gli angoli determinati 
dai lati successivi e dai loro prolungamenti, angoli 
del poligono. 

/> C] 

Le figure qui sopra rappresentano oidinatamente untiian 
golo, un quadrangolo, un esagono e un pentagono. 



28 


Il polig-ono dicesi convesso se nessun lato, o pro- 
lungamento di lato, incontra in punti interni gli altri 
lati: intrecciato se un lato incontra un altro lato in 
un punto interno; concavo se qualcuno dei prolun- 
gamenti dei lati incontra un altro lato in un punto 
interno. 

1 P ° IÌg0nÌ delIa figura Predente sono tutti con- 

vessi. Nelle figure qui sotto abbiamo un quadrangolo intrec- 
ciato e uno concavo. 



Un poligono convesso ha tanti angoli quanti sono 
i lati. 

11 triangolo è sempre un poligono convesso. E tre punti 
non in linea retta danno sempre un triangolo solo, mentre 
quattro, cinque ... punti determinano differenti quadrangoli 
pentagoni..., e ciò secondo l’ordine in cui quei punti si con- 
siderano. 


38. In ciò che segue parle- 
remo di polig'oni convessi sol- 
tanto. 

Congiungiamo un vertice di 
un poligono convesso con un 
punto di un lato che non passi 
per quel vertice, ad es. il ver- 
tice A di un pentagono ABCDE 
col punto E del lato CD ; ogni punto interno del seg- 



29 

mento AF così ottenuto dicesi interno del poligono 
convesso. E ogni punto del piano che non sia punto 
di qualche lato, nè sia interno del poligono dicesi 

esterno. 

39. Per poligono intendesi talora non soltanto 
la figura costituita dalla linea chiusa determinata dai 
lati, ma anche la figura costituita dai punti interni, 
ossia la porzione di piano che si ottiene unendo un 
vertice coi punti della linea suddetta. 

Quando per poligono si . intende la detta porzione 
di piano, la linea chiusa chiamasi contorno o peri- 
metro del poligono. E per perimetro intendesi anche 
la somma dei lati del poligono. 

Non è possibile far confusione fra il poligono, conside- 
rato come linea e il poligono, considerato come superfìcie, 
perchè dal contesto stesso del discorso, apparisce subito di 
per s è di quale dei due si intenda parlare. Talora poi è 
indifferente considerare o l’uno o l’altro. 

Nella Geometria conviene spesso usare lo stesso voca- 
bolo per indicare, senza dar luogo a confusione, enti fra loro 
diversi, ma dipendenti l’uno dall’altro. 

Così avviene ad es. che con lo stesso vocabolo cubo tanto 
intendiamo ciò che si vede di un dado quanto tuttodì dado 
medesimo, o il posto che esso occupa nello spazio. 

Così nella pratica noi diciamo minuto , primo tanto la 
sessantesima parte dell’ora che è una durata, quanto la ses- 
santesima parte di quell’angolo che si chiama grado. Così 
collo stesso vocabolo scatola noi intendiamo soventi tanto la 
superficie, quanto il solido formato dalla scatola stessa. E 
quando non è necessario far distinzione, risulta dal discorso 
stesso se intendiamo 1’ uno o l’ altro degli oggetti designati 
con lo stesso vocabolo. E un metodo questo che serve anche 
in matematica per non dover usare un numero troppo grande 
di vocaboli. 


30 

40. Di ogni triangolo ABC suolsi dire che il ver- 



tice A è opposto al lato BC e il lato BC è opposto 
al vertice A\ e così B ed AC, C ed AB diconsi op- 
pòsti. E si suole pur dire che gli angoli CAB, ABC, 
BCA sono rispettivamente opposti ai lati BC, AC, AB. 

Rispetto ai lati il triangolo dicesi equilatero, come 
ABC, se ha tutti e tre i lati eguali : isoscele, come 
EDF, se ha due lati eguali ; scaleno, come GBIK, se 
tutti e tre i lati sono diseguali. 

Rispetto agli angoli abbiamo il triangolo acutan- 
golo, come ABC, nella figura di pag. seg., che ha 
tutti gli angoli acuti; il triangolo rettangolo, come 
EDF, che ha un angolo retto in D\ il triangolo ottu- 
sangolo, come GFtK, che ha un angolo ottuso in G. 

I lati dell’angolo retto di un triangolo rettangolo 
diconsi cateti; il lato opposto all’angolo retto dicesi 
ipotenusa. 

41. Da perpendicolare condotta da un vertice di 
un triang'olo al lato opposto, e limitata dal vertice e 
dal lato opposto, o da un prolungamento di questo, 
di cesi altezza del triangolo relativa a quel -lato, il 
quale si chiama base. 


3 1 



Nel triangolo acutangolo ABC. l’altezza CX è interna al 
triangolo; nel triangolo rettangolo. DEF l’altezza relativa al 
lato DE è lo stesso lato ED\ e nel triangolo GHK l’altezza 
KY relativa al lato GH è esterna al triangolo. 

La retta che congiunge un vertice di un triangolo 
col punto medio del lato opposto dicesi mediana del 
triangolo. 

E le bissettrici degli angoli del triangolo diconsi 
le bissettrici del triangolo. 

42. Fra i quadrangoli vanno notati: il trapezio che ha 


P 0 T 5 



due lati paralleli (basi) come il quadrangolo ABCD ; il pa- 
rallelogramma che ha due ^coppie di lati paralleli, come 

DEFG. 

Fra i parallelogrammi vanno notati: il rombo che ha 
tutti i lati eguali, come HKIL\ il rettangolo che ha tutti gli 
angoli retti, come MNOP\ il quadrato che ha tutti i lati 
eguali fra loro e gli angoli retti, come QRST. 

Il segmento perpendicolare alle basi del trapezio o del paial- 





lelogramma dicesi altezza del trapezio o del parallelogramma. 

Riepilogando abbiamo: 

il quadrangolo generico ; 

il quadrangolo trapezio o semplicemente il trapezio ; 

il quadrangolo parallelogramma o semplicemente 
il parali e log r a m m a ; 

il parallelogramma rettangolo o semplicemente il 
rettangolo ; 

il parallelogramma rombo o semplicemente il rombo ; 

il parallelogramma rettangolo e ro?nbo o semplice- 
mente il qiiadrato. 


43 . Un poligono, che ha tutti i lati eguali fra 
di loro e tutti gli angoli uguali fra di loro, dicesi po- 
ligono regolare. 

Ad esempio il quadrato è un po- 
ligono regolare; e regolare è pure il 
poligono ABCDEF. Invece il rombo 
non è . un poligono regolare sebbene 
abbia i lati tutti eguali fra loro, e così 
p pure il rettangolo non è un poligono 

regolare sebbene abbia tutti gli angoli 
E fra loro eguali. Nel poligono ABCDEF. 

unendo B ed E, A e D, F e C si verifica che queste dia- 
gonali passano per uno stesso punto e che questo è equidi- 


Volendo procurarsi con una liste- 
rella di carta ABCD di larghezza AB 
e alquanto lunga un triangolo equi- 
latero, si pieghi in due la lista così 
da segnare la retta EF, indi servendosi 
di un’altra listerella di lunghezza egua- 
le ad AB, si trasporti questa lunghezza 
in modo che essa venga in AG; indi 



33 

si ritagli lungo AG e BG : si avrà il triangolo regolare 
ABG di lato AB. 

Molto più facile è l’ ottenere un 
quadrato con una lista come la prece- 
dente ABCD ; basta segnare su AD e 
su BC due segmenti AF , BE eguali ad 
AB e poi ritagliare lungo la retta FE. 


Volendo procurarsi un pentagono regolare con una 
listerella larga AB e lunga 506 volte AB si può fare così : 

Si prende la lista per le due estremità in modo che 
l’indice della mano sinistra sia sotto, e il pollice sopra il mar- 
gine AB , mentre l’indice della mano destra sia sopra e il 
pollice sotto il margine CD ; indi si muove la destra come 





per fare il nodo della cravatta, piegando la lista inf prima ad 
arco e poi passando il margine CD sotto quest’arco e strin- 
gendo dolcemente e a poco a poco il nodo, affine di non 
lacerare la carta negli angoli. Si avrà così un pentagono re- 
golare EFGHK (ritagliando lungo EK e GEI) di lato EF, un 
po’ più lungo di AB. 



3 



34 


Volendo in fine avere un esagono regolare si costruisca 
dapprima un triangolo equi- 
latero ABC in disparte, e poi 
lo si ricalchi sopra la carta da 
lucidi; si rivolti lacopiain CBD , 
poi in CDE in CEF , in CFG 
e in CGA, finché si ritorni 
sul triangolo ABC. Ritagliando 
poi lungo ABCEFG , si avrà 
l’esagono regolare di lato AB. 


ESERCIZI. 


Disegnare a mano libera-: 

un triangolo scaleno, un triangolo isoscele, un triangolo 
equilatero ; 

un triangolo acutangolo, un triangolo rettangolo, un trian- 
golo ottusangolo ; * 

le altezze, le mediane e le bissettrici di un triangolo (le al- 
tezze devono incontrarsi tutte e tre in un punto, le mediane in 
un altro, e così le bissettrici) avendo cura cbe i lati risultino a 
tratto continuo, le altezze a punti, le mediane a tratti, e le bis- 
settrici a tratti e punti alternati. 

Disegnare le varie specie di quadrangoli con le loro diago- 
nali punteggiate. • 

Disegnare un pentagono, un esagono, un ottagono. 


Il circolo. 


44 - Dato un fascio di raggi avente il centro in 
un punto O, se sopra ciascun raggio si segnano dei 
punti AB,... equidistanti da O, la linea così otte- 
nuta si chiama circonferenza. 



& 


B 


33 

La circonferenza è dunque la linea costituita da 
tutti i punti del piano equidistanti 
da un punto di esso. 

Questo punto dicesi centro 
della circonferenza : i segmenti OA 
OB.... diconsi raggi della circon- 
ferenza stessa. 

Lo strumento col quale comune- 
mente si descrive la circonferenza è il 

compasso : fatto centro in O con quella delle punte alla 
quale non sia infissa la matita, la punta scrivente o mobile 
descrive la circonferenza. 



La circonferenza è una linea chiusa, come è chiuso 
il fascio di raggi. 

Il segmento AB di retta che unisce i due punti 
A e B della circonferenza chiamasi corda. 

Ogni corda che contiene il centro dicesi diametro. 


45. Una parte di circonferenza limitata a due 
punti A e B dicesi arco : e i punti A e B diconsi 
estremi dell’ arco. Si dice che la corda AB è sottesa 
dall’arco AB. Se gli estremi dell’arco AB sono gli 
estremi anche di un diametro, 1’ arco dicesi allora 
semicirconferenza. 


46. Ogni punto del piano, che non sia sulla cir- 
conferenza, congiunto col centro O' dà o un segmento 
minore del raggio o un segmento maggiore. Nel primo 
caso il punto dicesi interno; nel secondo, esterno 
alla circonferenza. 

Dicesi cerchio la parte del piano costituita dai 
punti della circonferenza e dai punti interni alla cir- 
conferenza. 


36 


Col vocabolo circolo si intende nella pratica tanto la 
circonferenza quanto il cerchio; ma non vi è per questo pe- 
ricolo di equivoco sapendo tutti che l’una è una linea e 
l’altro è una superfìcie, e che dal contesto del discorso ap- 
parirà subito quale delle due cose si intende di chiamare col 
vocabolo circolo. 

47 . La parte di cerchio limitata da due raggi 
OA e OB e dall’ arco AB che essi determinano in un 
dato verso, dicesi settore circolare. Se l’angolo OAB 


) 


dei due raggi è retto, il settore dicesi quadrante ; e 
se è un angolo piatto, semicerchio. Una parte di 
cerchio compresa fra un arco e la corda che ne con- 
giunge gli estremi si dice segmento circolare. 

Due circoli concentrici, cioè che hanno lo stesso 
centro, e con raggi differenti de- 
terminano una superficie piana che 
dicesi corona circolare. 

48 . Una retta e un circolo 
che giacciono in uno stesso piano 
possono avere due punti distinti A 
e B in comune, oppure uno solo, o nessuno. Nel primo 
caso la retta si dice tutta esterna al circolo, nel se- 
condo tangente, e nel terzo caso secante del circolo 
stesso. 






3§ 


Due circoli di uno stesso piano possono avere 
in comune due punti, oppure uno solo, oppure 
nessuno. 

ESERCIZI. 

Disegnare coll’aiuto di un pezzo da due soldi, da un soldo, 
da due centesimi .... delle circonferenze, indi a mano libera se- 
gnare il centro. 

Disegnare a mano libera delle circonferenze a tratto continuo 
a tratti ; a punti. 

Segnare sopra una circonferenza un raggio, un diametro, una 
corda; due archi eguali, un quadrante. 

Disegnare due circonferenze che si tocchino internamente od 
esternamente. 

Segnare in una circonferenza un triangolo, un quadrato, un 
pentagono inscritti; un esagono ed un ottagono regolari, tenendo 
presente che l’esagono e l’ottagono si ottengono rispettivamente 
dal triangolo equilatero e dal quadrato dividendo per metà gli 
archi sottesi dai loro lati. 

Triangoli eguali. 

49. Se noi abbiamo due triangoli di carta ABC, A'B'C' e 
li troviamo tali che trasportando il primo sul secondo con- 
venientemente (e senza che esso si modifichi durante il tra- 
sporto) ogni punto del primo combaci con un punto del se- 
condo e ogni punto del secondo con uno del primo, come 
si è detto per due figure qualunque, giudichiamo subito che 
i due triangoli sono fra loro eguali. Però nel momento in 
cui essi combaciano rileviamo che: i) ad ogni punto dell’ una 
corrisponde un sol punto dell’altro ; 2 .) ogni segmento formato 
da punti del primo è eguale al segmento dei punti corrispon- 
denti del secondo. Reciprocamente, due triangoli di carta ABC , 
A'B'C' che avessero le proprietà i)'e 2), possono essere tra- 
sportati V uno sull’ altro in modo da combaciare punto per 
punto. 


39 

Ora noi faremo vedere che per decidere se due trian- 
goli sono fra loro eguali non è necessario verificare che tra- 
sportandoli l’uno sull’altro, combaciano punto per punto, op- 
pure verificare che essi abbiano le proprietà i) e 2); ma che 
è sufficiente sapere che alcuni elementi del primo triangolo 
sono eguali ad alcuni del secondo per poter esser certi della 
loro completa eguaglianza. Ad es. : 

1) Due triangoli i quali hanno due lati dell’uno 
eguali rispettivamente a due lati dell’altro e l’an- 
golo da essi compreso pure eguale, hanno eguali 
fra loro gli altri elementi, e sono fra di loro eguali. 

Siano ABC e A'B’C' due triangoli, i quali abbiano e- 
guali i lati AB e A'B', eguali i lati AC e A'C', ed eguali 
gli angoli BAC e B' A'C'; dico che devono essere fra loro 
eguali. Per riconoscere vera questa proprietà ricalchiamo il tri- 



angolo ABC e poi trasportiamo la copia di ABC sul trian- 
golo A’B'C' in modo che l’angolo BAC combaci col suo 
eguale B'A'C'j allora troveremo che il segmento AB dovrà 
combaciare col suo eguale A’B ' e AC con A'C'; di più 
l’angolo ABC dovrà combaciare coll’angolo A' B' C', e così 
dicasi degli angoli ACB , A'C' B’ . 

Constatato che il triangolo AB' C' deve combaciare colla 
copia del triangolo” ABC è verificata anche la proposizione 
enunciata, cioè, è verificato che anche BC = B' C', che 
l’angolo ABC=AB'C', che BCA — C’B'A' e che i due 
triangoli ABC e A'B'C' sono eguali. 


40 


2) Due triangoli i quali hanno due angoli del- 
l’uno rispettivamente eguali a due angoli dell’altro, 
e il lato da essi compreso eguale, hanno fra loro 
eguali gli altri elementi, e sono fra loro eguali. 

Nella fìg. prec. si supponga che sia l’angolo BAC = B'A'C' 
AC = A' C r e l’angolo: ACB = A’C'B'-, dico che i due 
triangoli sono fra loro eguali e che AB=A’B’, BC=B'C' 
e ancora che l’angolo: ABC = A'B'C'. 

La verificazione si fa come pel caso precedente. Fatta la 
copia del triangolo ABC si trasporti questa sul triangolo 
A'B’C’ in modo che la copia di AC combaci col segmento 
ad essa eguale A'C', indi si faccia girare la copia di ABC 
attorno ad A'C' in modo che essa venga a portarsi sulla 
parte di piano ove si trova il triangolo A'B'C'. Per essere 
l’angolo: BAC — B'A'C', siamo certi che il lato AB pren- 
derà la direzione del lato A'B ', e così pure per essere : 
ACB = A' C' B' il lato CB si disporrà lungo il lato C'B'. 
Così noi vediamo che la copia del punto B coincide con B' ; 
perciò la copia di ABC coincide punto per punto col tri- 
angolo A’B'C'', oltre a ciò il lato AB combacia con A'B e 
CB con C'B’ e l’angplo ABC coll’angolo A'B'C’. 

La proposizione "enunciata resta così completamente ve- 
rificata. 

3) Due triangoli i quali hanno i tre lati rispet- 
tivamente eguali sono fra loro eguali, ed hanno gli 
angoli ordinatamente eguali. 

Siano ABC, A’B'C' i due triangoli dati e si sappia che : 
AB = A'B', AC = A'C', BC=B'C dico che i due tri- 
angoli sono eguali. 

A tale scopo descriviamo dapprima, nella parte di piano 
ove giace il triangole ABC, e con l’aiuto del compasso, due 
circoli, uno di centro A e raggio AC, 1’ altro di centro di 
B e raggio BC; così il vertice C del triangolo ABC viene 
ad essere uno dei punti di incontro dei due circoli così costruiti 


4 1 



(l’altro come sappiamo è dalla banda opposta di C rispetto 
ad AB). Fatta sopra una carta da lucidi la copia della figuia 
così ottenuta, composta _cioè di ABC e dei due ciicoli anzi- 
detti, imaginiamo di trasportar questa copia sulla parte di 
piano ove giace il triangolo A'B'C' in modo che AB , com- 
baci con A 'B\ eguale per ipotesi ad AB, e che il triangolo 
ABC venga a posare dalla parte ove giace il triangolo A'B'C'. 
Ciò posto egli è evidente che per essere A' C eguale ad AC 
il punto C dovrà trovarsi sopra la circonferenza di centro A 
e raggio AB della nostra copia; e per essere CE eguale a 
CB , il punto C medesimo dovrà trovarsi anche sulla seconda 
circonferenza, quella cioè di centro B e raggio CB. Adunque 
il punto C' dovendo trovarsi sull’ una e sull’altra delle due 
circonferenze da noi descritte, dovrà combaciate con uno dei 
due punti di incontro di esse, e nel caso nostro dovtà com- 
baciare con C. Segue da ciò che i due triangoli ABC ed 
A'EC’ possono essere trasportati l’uno sull’altro in modo 
che i vertici A,B,C coincidano rispettivamente coi vertici 
A\B\C'-, essi sono dunque fra loro eguali. 

Osserv. Le proposizioni i) 2) e 3), ora esposte e chiarite, 
sono conosciute sotto il nome di : casi (cioè condizioni suf- 
ficienti) di eguaglianza di due triangoli. 

Angoli di rette parallele con una loro trasversale 

50- In un piano due rette CD ed EF intersecate da 
una terza GH formano otto angoli, i quali considerati 




4. 2 


a coppie, assumono nomi speciali, a seconda della loro 
posizione. 

La rettp, GH dicesi la trasversale delle due rette 
CD ed EF. Se A e B sono i punti di incontro della 
trasversale, gli angoli: CAB ABF diconsi angoli al- 
terni interni; lo stesso dicasi degli angoli DAB, ABE 


£ 



JE 


Gli angoli: GAD, ABF diconsi angoli corrispondenti; 
lo stesso dicesi degli angoli DAB, FBFI; degli angòli 
GAC, ABE. e degli angoli CAB, EBH. Gli angoli DAB, 
ABF diconsi angoli interni dalla stessa parte o sempli- 
cemente interni; lo stesso dicasi degli angoli CAB, ABE. 

Due rette parallele formano con una qualsi- 
voglia loro trasversale angoli alterni interni eguali 
fra loro, ed angoli corrispondenti eguali pure fra 
loro. 

Siano CF, ED due parallele incontrate dalla trasversale 
GH nei punti A e B] sia O il punto medio del segmento 


43 


AB, e si faccia passare 
per O un altro segmento 
qualsiasi CD. Ricordiamo 
che per essere CF , ED 
rette parallele, CF è la fi- 
gura opposta ad ED rispetto 
al punto O di mezzo del 
segmento trasversale AB , 
sicché: AO=OB,CO=OD. 

Ma i due triangoli CAO 
DBO avendo due lati dell’uno OA, OC, rispettivamente 
eguali a due lati dell’altro, OB, OD e l’angolo da essi 
compreso eguale perchè opposto al vertice, sono eguali. Ne 
risulta che i due angoli CAO, DBO sono fra loro eguali, 
ma questi sono alterni interni ;• dunque ecc. 

Siccome poi: GAF^CAO come angoli opposti al vertice, 
così ne viene che anche i due angoli GAF e DBO sono fra 
loro eguali; ma questi sono angoli corrispondenti; dunque ecc. 

Oss. Quando una proposizione può essere dedotta, come 
in questo caso, con ragionamento da precedenti proposizioni, 
senza incorrere a verificazioni materiali od alla osservazione, 
allora si dice che la proposizione può esser dimostrata , e la 
proposizione stessa dicesi teorema. 

In queste nozioni, come abbiamo avvertito, noi facciamo 
uso preferibilmente del metodo che consiste ne) verificare le 
proposizioni sperimentalmente sia con 1’ osservazione diretta, 
che mediante opportune e semplici operazioni, supponendo 
sempre, ben inteso, in questo metodo, che un corpo traspor- 
tandosi nello spazio, possa mantenersi inalterato. Questo è il 
metodo di osservazione e di esperienza, o metodo speri- 
mentale. Quello invece che deduce col solo ragionamento 
una proposizione da altre (anche se già verificate o verifica- 
bili col primo metodo) dicesi metodo razionale. 

Si può anche provare che : 

51. Se due rette formano con una loro trasversale 
angoli alterni interni fra loro eguali, oppure an- 





44 

goli corrispondenti fra loro eguali, le due rette 
stesse sono fra loro parallele. 

Si sappia che gli angoli alterni interni CAB, ABD sono 
fra loro eguali, ma non si sappia se le due rette CA, BD 
siano o no parallele. Se noi conducessimo dal punto B la 
parallela alla CD e questa fosse la BD ', per la proposizione 
precedente si ricaverebbe che 
gli angoli alterni interni CAB , 

ABD' dovrebbero esser fra 
loro eguali ; ma per ipotesi 
CAB, ABD sono eguali: 
adunque dovrebbero esser fra- 
loro eguali gli angoli ABD' 
e ABD , ciò che non può essere 
se non quando la parallela BD' 
coincide con la retta BD. Adunque dal supporre èguali gli 
angoli alterni interni noi abbiamo ricavato col ragionamento 
che le rette BD e CA devono essere parallele. In modo ana- 
logo si prova che se gli angoli corrispondenti sono eguali 
le rette CA, BD sono ancora parallele. 





Due rette parallele ad una medesima retta 
sono parallele fra loro. 

Siano date nel piano del nostro disegno tre rette a b c, 

e si sappia che a è parallela 
alla c e che b è parallela alla 
c ; proveremo che a e b sono 
fra loro parallele. Infatti se 
noi le tagliamo tutte e tre con 
una trasversale GH troviamo 
che l’angolo GAD^=GCF 
perchè angoli corrispondenti 
delle parallele a e c ; che 
GBE= GCF perchè corrispondenti delle parallele b e c ; 
perciò GAD=GBE-, e siccome questi angoli G/LD, GBE 
sono angoli corrispondenti eguali fatti dalle rette a, b con la 



45 

trasversale GEI, così ne deduciamo che le rette a e b sono 
fra loro parallele. 

Vogliamo ancora provare che: 

Due rette del piano perpendicolari ad una me- 
desima retta di esso sono fra loro parallele. 

Se la retta CA è perpendicolare alle AE nel punto A y 
l’angolo EAC è retto; per la 
stessa ragione è retto l’angolo 
EBD se la retta DB è essa 
pure perpendicolare alla AE. 

Allora gli angoli EAC, EBD 
sono eguali fra loro perchè 
retti ; ma essi sono anche 
angoli corrispondenti ; dunque 
le rette CA, DB sono fra loro parallele. 

Per un punto del piano non si può condurre 
più di una perpendicolare ad una data retta del 
piano stesso. 

Se il punto dato M è sulla retta data AB, sappiamo che 
vi è una sola retta MC che forma con la retta AB due an- 



hi __ 

A MS 

goli adiacenti eguali, perchè ogni altra retta MC dovendo 
essere compresa nell’angolo CMB oppure nell’angolo CMA 
forma con MB o con MA un angolo minore di un retto. 

Se il punto dato è un punto P fuori della retta AB la 
perpendicolare condotta da P alla AB non può essere che 
una sola, altrimenti (se fossero due, PM PM') si potrebbe 


c 


J? 





A 

1 B 


B 


dire che gli angoli corrispondenti, PMB , PM'B sarebbero 
eguali come retti e quindi che le rette PM , PM' sarebbero pa- 
rallele, contro il fatto che passano entrambe per il punto P. 

Kserc. Si dimostri con l’aiuto della proposizione al n. 26 
che due segmenti paralleli compresi fra rette parallele sono 
eguali ossia : I lati paralleli di un parallelogramma sono 
eguali fra loro. 

CAPITOLO II.° 

Rette e piani perpendicolari fra loro. 

52. Tutte le rette passanti per un punto A dello 
spazio o tutti i raggi uscenti da S , (come se S fosse 
un punto luminoso) costituiscono 
una figura che si chiama stella ; 
e il punto S dicesi il centro 
della stella. 

Per ogni punto P dello spa- 
zio passa una retta o un raggio 
della stella. 

Fascio di raggi e stella di raggi 



, 


47 

non sono la stessa figura. Nel fascio i raggi sono situati tutti 
in uno stesso piano, e nella stella' no. 

53. Un piano viene diviso da una sua retta, pro- 
lungata nelle sue direzioni, in due parti che si chia- 
mano semi piani. 

Tutti i piani che passano per una retta a, o tutti 
i semipiani limitati alla retta a, costituiscono una fi- 


gura che dicesi fascio di piani o di semipiani. La 
retta a dicesi asse del fascio. 

Le successive posizioni di una porta che ruota attorno ai 
suoi cardini ci forniscono un esempio di un fascio di semi- 
piani di cui l’asse è la retta che congiunge i cardini. 

La parte del fascio di piani determinata da due 

semipiani chiamasi angoloide 
dteciro o, semplicemente, 

diedro. 

Un foglio di carta piegata in 
due, debitamente completato di 
altri fogli, ci suggerisce l’idea di 
un angoloide diedro. 

54. Se sopra di un piano ABC si appoggiano i cateti 
di due squadre in modo che i vertici dei loro angoli retti 




4 8 

coincidano con un punto P del piano e gli altii due cateti 
combacino nella retta PO, la retta PO viene ad essere per- 
pendicolare a due rette del 
piano ABC., e quando faccia- 
mo girare una delle squadrette 
attorno a tal retta PO, vedia- 
mo che l’altro cateto della 
squadretta si mantiene sempre 
sul piano, così che si può an- 
che dire che la retta PO è 
perpendicolare a tutte le rette 
del piano passanti per P. 

Una retta OP dello spazio che sia perpendicolare 
a due rette di un piano ABC passanti per il suo punto 
P d’incontro col piano dicesi perpendicolare al piano. 

Ad esempio lo spigolo di un dado è perpendicolaie alla 
base di esso. 

Il segmento OP della retta perpendicolare in I 
al piano dato, condotto da O dicesi segmento nor- 
male o distanza del punto O dal piano. Ogni altro 
segmento OA condotto da O ad un altro punto A del 
piano dicesi obliquo. Dalla costruzione precedente si 
ha che: Per un dato punto si può condurre una 
sola perpendicolare ad un piano. 

Un piano, che abbia la giacitura di uno specchio d acqua 
stagnante dicesi piano orizzontale. E la perpendicolare ad 
un piano orizzontale dicesi verticale. Le rette di un piano 
orizzontale diconsi pure rette orizzontali. 

55_ Due piani, che incontrandosi formano i diedri 
tutti e quattro eguali fra loro, diconsi piani perpen- 
dicolari l’uno all’ altro. 

Ad es. due pareti consecutive di una stanza, una paiete 
e il suolo sono fra loro perpendicolari. 


0 



49 


56. Una retta a e un piano 
db' diconsi fra loro paralleli se 
la retta a è parallela ad una 
retta d del piano. 

57. Due piani ab ed db' si 
dicono paralleli se le rette del- 
l’uno sono parallelè all’altro. 

Ad es. tutte le pagine di un libro chiuso sono parallele 
fra di loro. 

58. Tre raggi abc uscenti da un 
punto V, e non situati in un piano, 
determinano una figura che chiamasi 
triedro ; il punto V è detto il ver- 
tice; gli angoli ab, bc, ca le faccie ; 
e i diedri formati dalle faccie, i diedri 
del triedro. 

Poliedri. 

59. Dicesi piramide la figura che si ottiene da 
un poligono piano, ad es. A BCD, e un punto P fuori 
di esso, unendo il punto P coi ver- 
tici del poligono stesso. Il polig'ono 
ABCD dicesi la base della pira- 
mide e il punto P il vertice. I 
triangoli PAB, PBC, PCP>, PDA 
sono le faccie laterali della pira- 
mide e ne costituiscono la super- 
fìcie laterale. 

Il segmento PO uscente dal 
vertice e perpendicolare al piano 
della base dicesi altezza della piramide. 





4 


50 


La piramide dicesi triangolare, quadrangolare.... 

secondo che essa ha per base un triangolo, un qua- 
drangolo. ... 

La piramide triangolare dicesi anche tetraedro. 

Se la base della piramide è un poligono regolare 
e se il piede dell’ altezza è il centro del circolo che 
si può far passare per i vertici del poligono, la pira- 
mide dicesi regolare. 

La piramide è dunque una figura chiusa da poligoni piani 
i quali sono tutti triangoli, tranne uno, cioè la base, la quale 
può essere un poligono qualsiasi. 

60.. Dicesi prisma la figura che si ottiene da un 
poligono piano, ad es. ABCD, conducendo dai vertici 
di esso dei segmenti paralleli nella stessa direzione e 
tutti eguali fra loro AA’ , BB', CO, DD' e congiun- 
gendo i punti AB' C'D'. I due poligoni ABCD e AB 
C'D' si dicono le basi del prisma; i segmenti A A 
BB ' , CC', DD ' , gli spigoli laterali, e i parallelogrammi 
ABAB', BCB'C, .CDC'D' , DAL/ A di consi le faccie 
laterali del prisma, e ne costituiscono la superfìcie 
laterale . 

Il segmento BE' 
della perpendicolare 
condotta da un punto 
E della base ABCD 
alla base A B' C' D' di- 
cesi altezza del pri- 
sma. 

Il prisma dicesi 
triangolare, qua- 
drangolare..., secon- 
do che la base è un triangolo, un quadrangolo..., ecc. 



5i 


I piani che uniscono due spigoli paralleli non 
consecutivi del prisma diconsi piani diagonali del 
prisma. 

II prisma è dunque una figura chiusa da poligoni piani, 
i quali sono tutti parallelogrammi, eccettuati due soli, cioè le 
basi, le quali possono essere due poligoni qualunque, ma però 
eguali e paralleli. . 


^ D ' 61 Se la base del prisma 

è un parallelogramma, il prisma 
J '■ / stesso dìcesi parallelopipedo. Se 

! '■ I gli spigoli laterali sono perpen- 

j ! / / dicolari alle basi il parallelopi- 

1 D • / / pedo dicesi retto. E se inoltre 

~ ~ ^ _ / / tutta le faccie sono dei rettangoli 

il parallelopi- 

pedo dicesi ita- A A 

rallelopipedo rettangolo. 

E quel parallelopipedo in cui ; 
tutte le faccie sono dei quadrati di- j_ 
cesi cubo. L K 


62 . La piramide, il prisma e quindi anche il pa- 
»; rallelopipedo e il cubo.... diconsi complessivamente 

poliedri. 

Però altre figure portano questo nome. Così ad 
•es. abbiamo un poliedro se poniamo sopra di un pri- 
sma di legno una piramide o un cubo, od un altro 
prisma di legno. 

I segmenti che uniscono il vertice della piramide 
coi punti interni della base, costituiscono nel loro in- 
sieme la parte interna della piramide : così pure i 
segmenti che uniscono i punti interni delle due basi 
di un prisma, costituiscono la parte interna del 
prisma. 




52 


Se le basi sono poligoni convessi, coi vocaboli piramide 
e prisma si intendono tanto le superficie, quanto i solidi da 
essi determinati. 

Riepilogando abbiamo: 

il poliedro generico ; 

il poliedro piramide o semplicemente la piramide ; 

il poliedro prisma o semplicemente il prisma. 

E fra i prismi abbiamo: 

il parallelopipedo generico ; 

il parallelopipedo retto, e il parallelopipedo rettan- 
golare ; 

il czibo. 

Cono - Cilindro - Sfera. 

63. Consideriamo una circonferenza di centro O 
e di raggio OA, e dal centro conduciamo la perpen- 
dicolare OV al piano del circolo stesso, indi congiun- 
giamo V coi punti ABC... della circonferenza : la fi- 
gura che ne risulta chiamasi cono. Il punto V ne è 
il vertice, il circolo di centro O e raggio OA la base, 
e VO l’altezza', ogni segmento poi, come ad es. VA, 
dicesi lato del cono, od anche retta ge- 
neratrice del cono. 

L’ insieme delle generatrici del cono 
dicesi superficie laterale del cono stesso. 

La superficie totale del cono è l’in- 
sieme della superficie laterale con la 
base. 

Si ha un cono ogni qualvolta si fa ruo- ^ 
tare un triangolo rettangolo AO V attorno ad 
un suo cateto 

64. Consideriamo ancora la circonferenza di cen- 




53 

tro O e di raggio OA, e dai suoi punti P.... condu- 
ciamo delle rette PP ' ,... perpendicolari al piano del 
circolo e sempre eguali allo stesso segamento ; si ot- 
tiene una figura che si chiama cilindro. I punti P' sono 
situati in un altro circolo di centro O . 

I due circoli di centri O, O' si dicono le basi del 

cilindro; la retta OO' dicesi asse e le rette PP', 

che congiungono i punti delle due cir- 
conferenze e sono perpendicolari alle 
basi diconsi i lati o le generatrici del 
cilindro medesimo, e ne costituiscono la 
superficie laterale. La superficie to- 
tale del cilindro è l’ insieme della su- 
perficie laterale con le due basi. 

Si ha un cilindro ogniqualvolta si fa ruo- 
tare un rettangolo OPP'O' attorno ad un suo 
lato OO'; si riconosce che durante questa rotazione il punto 
P' descrive un circolo di raggio eguale a quello descritto da P. 



65 . Tutti i punti ABC... dello spazio equidistanti 
da un punto O, costituiscono una figura che dicesi sfera. 
Il punto O dicesi il centro, e ogni segmento come OA, 
raggio della sfera. 

Si ha la sfera ogniqualvolta si fa ruotare una semicircon- 
ferenza attorno al suo diametro. 



Corda della sfera dicesi 
ogni segmento che unisce due 
punti della sfera. Diametro è 
una corda che passa pel cen- 
tro. Piano diametrale è ogni 
piano passante pel centro. I 
circoli della sfera situati nei 
piani diametrali sono tutti f^a 
loro eguali, e si chiamano cir- 


54 


coli massimi. Og-ni piano diametrale divide la sfera 
in due parti eguali, che si chiamano emisferi. 

Coi vocaboli cono, cilindro, sfera, si intendono rispetti- 
vamente tanto le superfìcie, quanto i solidi da esse deter- 
minati. 

ESERCIZI. 

Disegnare a mano libera la rappresentazione : 
di un triedro ; 
di una piramide ; 
di un prisma ; 
di un parallelopipedo ; 
di un cono; 
di un cilindro ; 

di una sfera, in guisa che appaiano rilevati. 

Addizione e sottrazione di segmenti. 

66. Diciamo consecutivi due segmenti della stessa 
retta come AB e BC, se essi hanno un estremo in 



ì) E 

F b 


comune B e gli altri due estremi da bande opposte 
rispetto a B. 

Addizionare o sommare due segmenti quali si 
vogliano vuol dire disegnare sopra una retta due seg- 
menti consecutivi e rispettivamente eguali ai seg- 
menti dati. 



55 

Il segmento compreso fra i due estremi non co- 
muni dei due segmenti [consecutivi dicesi la somma 
dei due segmenti dati ; e questi ne sono le parti o 
gli addendi. 

Nella figura qui sopra i segmenti AB e BC sono con- 
secutivi, e l’uno è eguale al segmento DE e l’altro al seg- 
mento FG : il segmento AC che così si ottiene è la somma 
dei segmenti DE, FG. 

Per esprimere che dC è la somma di AB e BC si scrive 
AC—ABA-BC e si legge: AC è eguale ad AB più BC, 
oppure : AC è eguale a DE più FG. 

Se poi sono dati più di due segmenti da addizio- 
nare, basta fare la somma dei primi due, poi la 
somma del segmento così ottenuto col terzo, ... e così 
di seguito. 

Riportando sopra una lista di carta i segmenti 
AB e BC, si verifica facilmente che ; 

La somma dei segmenti non cambia mutando 
1’ ordine degli addendi. 

67. Se si sommano due, tre, quattro... segmenti 
eguali ad AB, i segmenti che ne risultano si dicono 
rispettivamente : doppio, triplo, quadruplo, ... di 
AB, od ancora si dicono multipli di AB secondo i 
numeri 2, 3, 4 . . . rispettivamente. 

Un multiplo di AB dinotasi brevemente scrivendo a 
fianco di AB (a destra oppure a sinistra) un numero intero. 
Ad es. con: {AB) 5, oppure con: 5(AZ?) indicasi il quintuplo 
di AB. Abbiamo dunque: 

2 {AB) = AB + AB 

3 {AB) z= AB -t- AB AB 

4 {AB) = AB AB A- AB A- AB 


Se un segmento AB è doppio, triplo, quadruplo, . . . 


56 

di CD, si dice che CD è rispettivamente metà, terza 

parte, (un terzo) quarta parte, (un quarto) di AB 

od ancora si dice che CD è parte aliquota, o sottomul- 
tiplo di AB secondo i numeri 2, 3, 4 . rispetti- 
vamente. 

Un sottomultiplo di AB dinotasi brevemente sia scrivendo 
sotto AB un breve tratto seguito da un numero intero, come 
puie sciivendo a fianco di AB una frazione ordinaria col nu- 
meratore i e con un intero maggior di i per denominatore. 

Ad es. tanto con: — -, come con: — (AB), come 

5 5 

pure con: (AB) -L- indicasi la quinta parte di AB. Abbiamo 

J 

quindi : 

(AB) + ±- (AB) — AB 

(AB) 4- -i- (AB) 4- -L (AB) = AB 

-> 5 3 

— (AB) 4- -L. (A B ) 4- - l - (AB) 4- — (AB) = AB 

‘ • 4 4 


Quando poi scriviamo ad es. (AB) 3 - eppure ^ ^ 3 

. . . . 5 5 

intendiamo sempre di indicare la somma di tre segmenti. 

eguali ad un quinto di (AB); similmente, quando scriviamo 
(AB) intendiamo di indicare la somma di cinque seg- 
menti eguali ad un quarto di AB ,• e così via. 

68. Segniamo due segmenti diseguali AB e CE, 
il primo minore del secondo, e sul maggiore CE se- 


57 

gniamo una parte CD eguale ad AB. Il segmento 
ED, che così risulta, si dice la 

differenza dei segmenti dati a__ g 

CE e AB. 

C DE 

Per esprimere che ED è la dif- 
ferenza fra CE ed AB si scrive : 

ED=CE — AB, e si legge: ED è eguale a CE meno AB. 

E l’operazione con la quale si ottiene la differenza di 
due segmenti, il primo maggiore del secondo, dicesi sottra- 
zione. E da notare che : 

Se si addiziona la differenza di due segmenti 
col segmento minore si ottiene il maggiore. 

Addizione e sottrazione di angoli. 

69. Diciamo consecutivi due angoli di uno stesso 
piano, come (ab) e (bc), se essi hanno il vertice V ed 
un lato b in comune, e gli altri due lati da bande 
opposte di b. 

Addizionare o sommare due angoli quali si vo- 
gliano vuol dire disegnare sopra un piano due angoli 
consecutivi e rispettivamente eg'uali agli angoli dati. 


V 




Nella figura qui sopra gli angoli (ab) e (bc) sono con- 
secutivi, e l’uno è eguale all’angolo (de) e l’ altro all’ an- 
golo (fg). 


58 


L’ angolo (ac) dicesi somma dei due angoli dati; 
e questi le parti o addendi della somma. 

Se poi sono dati più di due angoli da addizionare, 
basta fare la somma dei primi due, poi la somma del- 
l’angolo così ottenuto col terzo .... e così di seguito. 

Se sopra un foglio di carta ricalchiamo gli angoli 
( ab) e ( bc ),- .... verificheremo facilmente che : 

La somma degli angoli non cambia mutando 
l’ordine degli addendi. 


70. Sommando due, tre, quattro, .... angoli eguali 
ad (ab), gli angoli che ne risultano si dicono rispetti- 
vamente doppio, triplo, quadruplo, ... di (ab), od 
ancora si dicono multipli di (ab) secondo i numeri 
2, 3, 4, ... . rispettivamente. 

Un mùltiplo di (ab) si dinota, come pei segmenti, scri- 
vendo a fianco di (ab) un numero intero. Così ad es. (ab) 3 
dinota il triplo di (ab). 

Se un angolo (ab) è doppio, triplo, quadruplo, . . . 
di un altro ( od), questo dicesi rispettivamente metà, terza 
parte, quarta parte, ... di (ab), od ancora si dice che 
(cd) è parte aliquota, o sottomultiplo, di (ab) se- 
condo i numeri, 2 3 4. . . . rispettivamente. 


Un sottomultiplo di un angolo si dinota come il sotto- 
multiplo di un segmento: così ad es. un quarto di (ab) si dinota 

f 7 \ 


tanto con : 


. (ab) 


come con : 


(ab). 


3 (ab) 3 . 


Quando poi scriviamo ad es. (ab) oppure 

4 4 


in- 


tendiamo, come pei segmenti, di indicare la somma di tre an- 
goli eguali ad un quarto di (ab). 


59 


71. Segniamo due an- 
goli diseguali (aè) e (cd) e 
nell’angolo maggiore (cd) se- 
gniamo un parte ( ce ) egua- 
le al minore ( ab ). L’ angolo 
(ed), che così risulta, è la 
differenza degli angoli dati (cd) e (ab). E l’operazione 
con la quale da due angoli diseguali si ottiene la loro 
differenza dicesi sottrazione. 

E qui pure da notare che : 

Se si addiziona la differenza di dne angoli 
coll’angolo minore di essi, si ottiene il maggiore. 

Misura dei segmenti e degli angoli. 

72. Per semplicità con due lettere maiuscole ad es. A 
e B indichiamo, in ciò che segue, tanto due segmenti, quanto 
due angoli. 

73. Se A. è eguale a B, è usanza dire che: B 
sta una volta in A oppure che : A sta una volta 
in B e si scrive: A—iB, oppure: B = i A. 

E se A è ad es. quintuplo di B, si suol dire che 
B sta cinque volte in A, oppure che la quinta parte 
di A sta una volta in B e si scrive : A = 5 B, op- 
pure : B — — l — A. 

5 

E se A è ad es. tre quarti di B, si suol dire che 

la quarta parte di B sta tre volte in A, oppure 
che la terza parte di A sta quattro volte in B, e 

3 4 

si scrive : A = B, oppure B = A. 

4 3 

74. Trovare quante volte B od una parte ali- 



6o 


quota di B sta in A dicesi : misurare A con B. In tal 
caso B dicesi unità tli misura o solamente unità. 

Se, misurando A con B, avremo che : A = i B, di- 
remo che i è il rapporto fra A e B\ se avremo che: 
A — 5 B, il rapporto fra A e B è 5 ; e se avremo che: 

A = 3 - - B, sarà a dirsi — il rapporto fra A e B. 

4 4 


È utile poi notare qui che se il rapporto fra A e Bè 1, 

è pure 1 il rapporto fra 5 ed A; se il rapporto fra A e B 

1 .3 

è 5, è invece il rapporto fra B ed A ; e infine se — - 

5 4 


è il rapporto fra A e B, 


è 


— quello fra B ed 


A 


Spesso invece di dire : rapporto fra A e B si 
suol dire : rapporto di A rispetto a B od anche : mi- 
sura di A rispetto a B. 


Avvertenza. Può accadere che dati due segmenti 
(come ad es. il lato e la diagonale di un quadrato) o 
due angoli, A e B+ nessuna parte aliquota di B, pra- 
ticamente divisibile in parti eguali, stia esattamente 
un numero di volte in A. In tal caso si cerca di di- 
videre B in un numero assai grande di parti uguali, 
cosicché la parte aliquota C di B risulti tanto piccola, 
che possa essere trascurata in confronto di B, per lo 
scopo col quale si fa la misura di A con B ; ed allora 
si porta successivamente questa parte aliquota C della 
B su A, finché si avrà che A è compreso fra due 
multipli successivi di C, come sarebbe a dire, fra 6 C 
e 7 C. Supponiamo che C sia un centesimo di B , di 

guisa che A è compreso fra e caso 

è la misura di A rispetto a B pei» 


diremo che 


100 


6 1 


difetto, e che — è la misura di A rispetto a B pev* 
ioo 

eccesso \ e potremo assumere come misura di A ri- 
spetto a B sia quella per difetto che quella per ec- 
cesso, semprechè, ben inteso, l’errore sia trascurabile. 
Di solito si prende la prima. 

75 . Le linee, le superficie e i solidi si chiamano 
complessivamente grandezze geometriche. 

Se A,B,C,D... sono tutte linee, oppure tutte super- 
ficie, oppure tutti solidi, le A,B,C,D... diconsi gran- 
dezze geometriche omogenee. 

Due grandezze omogenee si comportano rispetto 
alla misura come due segmenti, o come due angoli.- 

76. Per unità di misura dei segmenti si assume 
nella pratica e nei paesi in cui vige il sistema me- 
trico decimale, il metro. Il metro (m) è diviso in io 
decimetri (dm), in ioo centimetri (cm) e in iooo mil- 
limetri (mm). Esso fu introdotto in Francia alla fine 
del secolo XVIII, ed è all’ incirca la 40 milionesima 
parte del meridiano terrestre passante per Parigi. 

Per dinotare un segmento AB che sia omogeneo col 
metro, e che contiene ad es. io metri, 8 decimetri, 5 centi- 
metri e 6 millimetri, si scrive: AB = m. 10,856; e stavolta si 
bada che il numero decimale sia scritto sempre a destra del 
nome dell’ unità di misura. 

Per le grandi distanze, come quella fra due città, 
si usa come unità il chilometro (Km) che è 1000 me- 
tri, 100 decametri (Dm) e io ettometri (Em) ; in tal 
caso si risguarda il metro come parte aliquota. 

77. Nel disegno si adopera spesso per le misure il dop- 
pio-decimetro. Esso è un piccolo regolo coi lati maggiori 


6-2 


smussati e divisi in 20 (ed in più) centimetri, ciascun dei 
quali è suddiviso in millimetri. 

78 . Per unità di misura degli angioli si assume 
l’angolo retto. Questo viene supposto diviso in 90 
parti, dette gradi ; il grado in 60 parti che si chia- 
mano mimiti primi, e il minuto primo in altre 60 parti 
che si chiamano minuti secondi. Un angolo (ab) che 
risultasse di 25 gradi, 12 minuti primi e 5 secondi, si 
indicherebbe così; (ab) = 25°, 12', 5". 

79 . Praticamente per la misura degli angoli nel disegno 



si fa uso di un istrumento detto rapportatore. Esso è un se— 
micircolo inciso in una lastra trasparente od anche di metallo, 
l’estremo lembo del quale è diviso in 180 parti molto pros- 
simamente eguali fra loro. 

Nel centro vi è un forellino o un segno che si fa com- 
baciare col vertice dell’ angolo da misurare, mentre il dia- 
metro del rapportatore si fa combaciare con uno dei lati. 


Aree. 


80 . Avendosi ad es. il poligono ABKGHCA , se noi 
conduciamo’ il segmento BH , otteniamo due triangoli ABC 



6 3 

HGK, i quali non hanno, oltre al segmento BH , alcun altro 
punto in comune, e che appartengono tutti e due al poligono 


D 



dato. Il poligono in tal caso dicesi somma dei due triangoli 
ABC ed HGK, e per esprimere ciò si scrive : 

ABKGHCA = ABC + HCK. 

Avendosi invece due triangoli ABC, DEF , se noi co- 
struiamo, ricorrendo p. es. alla carta da lucidi, nel piano del 
triangolo ABC un altro triangolo EGF che sia eguale a DEF 
ma che abbia o un vertice, o un lato, o parte di un lato in 
comune col contorno del triangolo ABC, senza avere alcun 
altro punto comune, il poligono che ne risulta, dicesi ancora 
la somma dei due triangoli dati ABC, DEF. 

Lo stesso dicasi se si avesse un triangolo e un quadran- 
golo, e in generale, se si avessero due poligoni qualunque 

Due superfìcie tliconsi equivalenti o si dice che 
hanno aree eguali quando le superficie sono tali che 
si possano scomporre in parti rispettivamente eguali, 
ciascuna a ciascuna. 

La somma di due triangoli e quindi anche di due poli- 
goni può ottenersi in modi diversi, disponendo diversamente 


6 4 

i triangoli od i poligoni stessi che la compongono; perciò, 
le figure che ne risultano, pur non essendo eguali, (nel senso 
che siano sovrapponibili o simmetriche, o nel senso che si 
possa stabilire fra esse una corrispondenza di eguaglianza) 

hanno aree eguali od anche sono equivalenti. 

81 . Spesso, per maggior comodità, si indicano i poli- 
goni con una sola lettela alfabetica, come ad es. : A, B , P , <2 
a, b, p , q, (Si avverta però di leggere ad es. Q , ^ rispettiva- 
mente : Q grande, q piccolo). 

So un poligono A è somma di due, tre, quattro... 
parti equivalenti ad un altro poligono B, diremo che 
A è rispettivamente doppio, triplo, quadruplo,... di 
B oppure che B è metà, terza parte, quarta parte,... 
di A, come pei segmenti. 

Se p. es. A è triplo di B , scrivesi : A = 3 B oppure: 
B — — -A. E se A è triplo della quarta parte di B , si 
3 4 

scrive A — B oppure B -- A, come pei segmenti. 

La misura di una superficie rispetto ad un qua- 
drato q dicesi misura dell’area di quella superficie, o 
più brevemente 1’ area di quella superficie : essa è 
quel numero che esprime o quante volte q sta nella 
superficie o quante volte una parte aliquota di q sta 
in essa superficie. Vale per due superficie l’avvertenza 
di pag. 60 fatta per due segmenti. 

82 . Abbiasi ora un quadrato q — ABCD ed un secondo 
quadrato <2 = EFGH tale che il lato di questo contenga 
tre volte il lato del primo. Si verifica con tutta facilità, osser- 
vando la figura, che il secondo quadrato contiene 3x3 ossia 
g volte il primo: cioè <2 — 9 q. 


H 


6 5 

Se invece il lato di Q non è multiplo di quello di q ma 

è ad esempio del lato di q , allora si divideranno i lati di 

3 

q in tre parti eguali, cosic- 
ché q viene ad essere scom- 
posto in 9 quadratini q', e 
si osserverà che, siccome 
ogni lato del quadrato Q 
contiene il volte il lato di 
q ', il quadrato stesso Q con- 
terrà ii x n ossia 1 2 1 qua- * 

dratini q' . E siccome ognuno di questi è di q , così abbiamo 

9 


B 


, ^ /II I I \ 

che: g=( — x — ) }■ 


Nel primo esempio in cui il lato del quadrato q sta 3 
volte nel lato del quadrato Q , abbiamo che 1’ area di O 
è data, rispetto all’unità di misura q dal numero: 3x3. Nel 
secondo esempio in cui la misura del lato di Q rispetto al 


1 1 


lato di q preso come unità è — — , si ha che l’area di Q. ri-' 

3 

1 1 1 1 

spetto all’unità q è data dal numero : x 

Se non vi è alcuna parte aliquota del lato di q' che 
stia esattamente nel lato di Q, allora trovata che sia la misura 
del lato di Q rispetto al lato di q come unità col procedi- 
mento indicato al n. 74, l’ area di Q rispetto a q si avrà 
moltiplicando per sé stessa la misura del lato di Q rispetto 
al lato di q. 

La regola per trovare l’ area del quadrato in ogni caso 
è la seguente : 

Si ha la misura dell’area di un quadrato mol- 
tiplicando la misura del suo lato per se stessa. 

Più brevemente dicesi anche : 

L’area del quadrato è eguale alla seconda po- 
tenza del suo lato. 


5 




66 


Ad es. l’area del quadrato il cui lato è di m. 7 è data 
da: 7x7 cioè da: 49 (metri quadrati). 


83 . Consideriamo ora il quadrato q — ABCD di prima 
ed un rettangolo R — EFGH. 

H ^ Se per es. i lati RE ed EH con- 

tengono rispettivamente 3 volte e 2 
• volte il lato AB del quadrato q , ri- 

sulta facilmente dalla figura che il ret- 

I 1 tangolo R contiene 2x3 ossia 6 volte 

il quadrato q\ sicché: R — (2 X 3) q. 

Se poi si avesse ad es. EF = 4 (AB) ed EH (AB) 

3 

allora, diviso il lato del quadrato q in tre parti eguali, e co- 
sti uito il quadratino q che è di q , si troverà che, es- 


I 2 

sendo EF = — — (A A), il rettangolo R conterrà 12 x c ossia 
3 J 

60 volte il quadratino q ' , e quindi 60 volte la nona parte di 
q, cioè dunque : R— ^~q= ^4 x — ^ q. 

E se si avesse ad es. EF = — (AB) ed EH = 2 — (AB) 
- 3 3 ' 

allora il rettangolo R conterrebbe 28 volte il quadratino q' ; 

ci„ è * = (fxf) 3 - 


Supponiamo ora che si abbia: EF—-—(AB ) ed 
7 

BH — ~--(AB) % , in tal caso si dividerà il lato di q in 2 x 3 


ossia in 6 parti eguali e indicando con q il quadratino che 
ha per lato una di queste parti, si avrà che q contiene 36 

quadratini q", che EE = -A (AB) ed EH = -M. ( AB ) o che 

o o 

il rettangolo R contiene 15 X 14 volte il quadratino q" , cioè 
A- di q, sicché: R = (15 x 14) -A ossia R= (A- x 7 j , 



67 

Quanto poi al caso in cui EF ed EH non contengano 
■esattamente una parte aliquota, per quanto piccola sia, del 
lato AB del quadrato q, si procederà per via approssimativa, 
come nel caso precedentemente considerato. 

La regola per ottenere in ogni caso la misura dell’area 
-di un rettangolo rispetto ad un quadrato q preso come unità 
è la seguente : 

Siha la misura dell’area di un rettangolo 
moltiplicando la misura della sua base per Iti mi- 
sura della sua altezza; o più brevemente: 

L’ area del rettangolo è eguale al prodotto 
della base per F altezza. 

Es. Se la base è di m. 3 1 e l’altezza è di m. 17, l’area del 
rettangolo sarà data da : 3 1 x 17 cioè da: 527 (metri quadrati). 

84 . Sia ABCD un parallelogramma, e pei vertici A e 
B della base si conducano le 
altezze AE , BF. 

I due triangoli AED, BFC 
sono, come facilmente si dimo- 
stra, o anche si verifica con la 
carta da lucidi, eguali fra loro ; 
perciò il parallelogramma 
ABCD ed il rettangolo ABFE, come somme di parti rispet- 
tivamente eguali, sono equivalenti, cioè hanno aree eguali. 
Di qui la regola: 

La misura dell’area del parallelogramma è 
eguale al prodotto della misura della base per 
la misura dell’altezza corrispondente a questa; o 
più brevemente : 

L’area del parallelogramma è eguale al pro- 
dotto della base per 1’ altezza. 

Es. Se la base è di m. 1,57 e l’altezza di m. 3,08, l’area 
del parallelogramma è data da: 1,57 x 3,08 cioè da: 4,8356 



68 


(leggi: 4 metriquadrati 83 decimetriquadrati e 56 centimetri- 
quadrati). 


85 . Dato un triangolo ABC , si costruisca il parallelo- 



gramma ADCB tirando da A e da 
B le parallele al lati BC ed AC del 
triangolo. Si troverà come prece- 
dentemente che i due triangoli ABC y 
ABD sono eguali, e quindi che ABC 
è metà del parallelogramma ABCD . 
Adunque : 


La misura dell’area del triangolo è eguale alla 
metà del prodotto delle misure della base e del- 
l’ altezza corrispondente. 


Così per il trapezio si trova che : 

La misura dell’ area del trapezio è eguale al 
semiprodotto della somma delle basi per l’altezza. 


Es. Se le basi sono rispettivamente dm. 2,2 e dm 3,42 
e se l’altezza è di dm. 1,8, l’area del trapezio è data da: 


(2,20 + 3,42) 
2 


x 1,8 - 2,81 x 1,8 = 5,058 


(leggi: 5 decimetriquadrati, 5 centimetriquadrati e 80 milli- 
metriquadrati). 


86 . Dato un poligono regolare ABCDEF , sappiamo 
che vi è un circolo di centro O che passa pei vertici di esso; 
il segmento OM della perpendicolare condotta da O ad un 
lato, segmento che è eguale per 
tutti i lati, dicesi 1 'apotema del po- 
ligono. I triangoli AOB, BOC,... 
ecc., nei quali viene diviso il poli- 
gono essendo tutti eguali ed avendo 
ciascuno per altezza corrispondente 
alle basi AB , BC,... l’ apotema del 
poligono, ne risulta che per avere 
l’area del poligono regolare basta 
prendere tante volte l’area di un solo triangolo, quanti sono 





) 


6 9 

lati del poligono, o, ciò che è lo stesso basta prendere il 
semiprodotto dall’apotema per tante volte un lato (guanti sono 
i lati stessi sicché : 

La misura dell’area di un poligono regolare è 
aguale al semiprodotto della misura del perimetro 
per l’apotema. 

87 . Per avere l’area di una superficie qualun- 
que, la quale si possa scomporre in triangoli, basta de- 
terminare 1’ area dei singoli triangoli poi fare la som- 
ma dei numeri così ottenuti. 

Per unità di misura della superficie nel sistema 
metrico decimale si assume il metroquadrato (mq) ; 
«sso si suddivide in ioo decimetriquadrati (dmq) ; il 
dmq. in ioo centimetriquadrati (cmq) ; e il cmq in 
100 millimetriquadrati (mmq). Invece di scrivere: mq, 
dmq, cmq, mmq si scrive anche m 2 , dm 2 , cm 2 , rum 2 , 
rispettivamente. 

Nell’ agrimensura si fa uso dell’ ara, che è di ioo 
mq e che si dinota brevemente con ; a. L ’ Et tara o Et- 
taro è eguale a ioo are, quindi a ioooo mq, essa di- 
notasi con : ha. 

Vogliasi ad es. scrivere che l’area di A è tre mq, ven- 
ticinque dmq e tredici cmq; si scriverà: A = mq 3 i 2 5 i 3 ‘ 

Vogliasi ancora scrivere che l’area di ri è tre mq, cin- 
que dmq e tredici cmq: si scriverà: A =mq 3 ,° 5 1 3 - 

Reciprocamente, vogliasi enunciare 1 ’ area espressa da ; 
A = mq 14,2. Si dovrebbe qui dire: A è mq 14 e 2 de- 
cimi di mq ; ma il decimo di mq essendo un rettangolo (che 
ha per lati un m. e un dm) e non già un quadrato, e non 
essendovi nell’ uso comune un vocabolo speciale per indicare 
il decimo di metroquadrato, così leggeremo: 145 20 invece che 
4,2 e diremo: A è mq 14 e 20 dmq, giacché il centesimo 
di mq è appunto il dmq. 


7 ° 


Similmente l’area espx-essa da: A = mq 14,2513 leg- 
gesi, raccogliendo a due a due le cifre decimali , per la ra- 
gione anzidetta, mq 14, 25 dmq e 13 cmq. E così pure 
l’area espressa da: A — ha 3,456 leggesi : ettari 3, mq 45. 
e 60 dmq: oppure, se ci può esser utile: 345 mq e 60 dmq;. 
od anche: 34560 dmq. 

In alcuni luoghi si usano unità di misura lineari e di su- 
perficie differenti, secondo le consuetudini ; e il loro valore 
in metri od in metriquadrati si trova in apposite tabelle. 

88 . Per il prisma retto si ha la seguente regola : 

La misura della superfìcie laterale di un prisma 
retto è eguale al prodotto di uno 
spigolo per il perimetro della 
base. 

89 . Data una piramide qualun- 
que la superfìcie laterale è come sap- 
piamo, _ l’insieme delle sue faccie trian- 
golari ; se ne avrà quindi l’area som- 
mando le aree delle sue faccie laterali. 

Ma se la piramide è regolare, la 
sua base è un poligono’ regolare e le sue 
faccie laterali sono triangoli isosceli 
ed eguali tra loro; l’altezza di ognuno di questi triangoli,, 
che dicesi apotema della piramide, è la stessa per tutti. Si ha 
pertanto la regola : 

La misura della superficie laterale di una pira- 
mide regolare è eguale al semiprodotto del peri- 
metro della base per l’ apotema. 

90 . Ora consideriamo un circolo di centro O e di rag- 
gio OA, e imaginiamo un poligono regolare come ad es^ 
ABC.DEF i cui vertici siano tutti sulla circonferenza di questo 
circolo, o, come si suol dire, un poligono regolare inscritto - 
nel circolo stesso, e di cui l’apotema è indicata con OM. Si 



7 * 

sa che l’area di esso poligono è data dal prodotto del peri- 
metro per la metà dell’apotema : e questo vale per quanto 
grande sia il numero dei lati del 
poligono stesso. Coll’ aumentare del 
numero dei lati del poligono rego- 
lare inscritto si intuisce che ciascun 
lato del poligono diventa sempre 
più piccolo perchè più piccolo di- 
venta l’arco da esso sotteso , e se 
anche noi facessimo l’ esperimento 
troveremo che seguitando ad au- 
mentare il numero dei lati del po- 
ligono inscritto avverrà un momento in cui potremo pratica- 
mente ritenere che l’arco sotteso dal lato si confonda col lato 
stesso. Allora il perimetro del poligono si confonde con la 
circonferenza, e in pari tempo 1’ apotema col raggio. 

Nella geometria razionale si dimostra che il rapporto 
fra la circonferenza e il proprio diametro è lo stesso 
numero per tutti i circoli. 

Per trovare la lunghezza approssimata della circonferenza 
e l’ area approssimata del circolo si hanno queste regole 
pratiche : 

La lunghezza approssimata della circonferenza 
si ottiene moltiplicando per 3,1416 la lunghezza 
del diametro. 

Es. La lunghezza della circonferenza di un circolo di 
m. 3,5 di raggio è circa: 21,99 (leggi : 21 metri e 99 cen- 
timetri). 

L’area del cerchio si otiiene moltiplicando la 
lunghezza della circonferenza per la metà del 
raggio. 

Es. L’area del cerchio di m. 7 di raggio è circa: 153,9384 
(leggi: 153 metriquadrati, 93 decimetriquadrati e 84 centi- 
metriquadrati). 



72 


91 . La superfìcie laterale del cilindro, confrontata con 
la superficie laterale di un prisma retto il cui poligono base 

è un poligono regolare di un numero 
abbastanza grande di lati, inscritto nel 
circolo base del cilindro, conduce a sta- 
bilire la seguente regola : 

La superfìcie laterale del ci- 
lindro lia per misura il prodotto 
della circonferenza della base per 
1’ altezza. 

Es. Se il raggio della base del cilin- 
dro è di cm. 2 e l’ altezza di cm. 6 la 
circonferenza della base è misurata approssimativamente da 
4 x 3 ? 1 4 1 ^ cioè daj: 12,5 66« (12 centimetri 5 millimetri ecc.) e 
la superficie laterale da: (12,5664) x 6 cioè da 75,3987, (leggi: 
75 centimetiiquadrati, 39 millimetriquadrati e 87 centesimi di 
millimetriquadrati). 

92 . Similmente, la superficie laterale del cono, confron- 
tata con la superficie laterale di una piramide regolare, il cui 
poligono base sia un poligono regolare in- 
scritto nel circolo base" del cono, e di un 
numero abbastanza grande di lati (nel qual 
caso l’apotema della piramide tende a con- 
fondersi col lato del cono) dà luogo alla re- 
gola seguente : 

La superfìcie laterale del cono 
lia per misura il semiprodotto della 
circonferenza base per il lato del 
cono. 

Es. Se il raggio della base del cono è di m. 0,60, e il 
lato m. 4, la superficie laterale è data da: (1,20 x 3, 1416). 2 
ossia da 7,539840 (7 metriquadrati, 53 decimetriquadrati, 98 
centimetriquadrati e 40 millimetriquadrati). 




73 

93 . A tutte queste regole aggiungiamo la seguente (la 
quale si spiega essa pure nella Geometria razionale) per la 
valutazione dell’area della sfera: 

La superfìcie della sfera lia per misura il qua- 
druplo dell’area di un circolo che ha per raggio 
il raggio della sfera. 

Es. Se il raggio della sfera è di cm. 5, la superficie è 
data da: (25 x 3,1416) x 4, cioè da: 314,16 (leggi: 314 cen- 
timetriquadrati e 16 millimetriquadrati). 

Volumi. 

94 . Avendosi ad es. il cubo T 3 , della figura seguente, se 
noi conduciamo il piano AA'C'C. otteniamo due prismi, 
ABCA'B'C' ed ACDA'C'E)', i quali non hanno, oltre alla 
faccia AA'C'C , in comune alcun punto, e che appartengono 
entrambi al solido P. Il solido P dicesi perciò somma dei 
due prismi ABC AB' C' ed A CDA'C'JP. 

Avendosi invece due poliedri M ed N, se noi li uniamo in 
modo che abbiano un vertice, o uno spigolo o qualche faccia, 
o parte di faccia in comune, senza 
però avere alcun altro punto in 
comune, il solido P che ne ri- 
sulta, dicesi ancora somma dei due 
poliedri M ed N ; e ciò si esprime 
scrivendo : P — M -+- N. 

Diciamo che due solidi 
sono equivalenti, o che han- 
no volumi eguali, quando essi sono tali che si pos- 
sano scomporre in parti, ciascuna a ciascuna rispetti- 
vamente eguali. 

La somma di due poliedri può ottenersi in differenti modi, 
disponendo diversamente i poliedri stessi che la compongono: 



74 

perciò i solidi che ne risultano pur non essendo eguali hanno 
volumi eguali, cioè sono equivalenti. 

I “X 

Le relazioni : A = 5 B, A = B, A — — B quando A 

4 4 

e B dinotano dei poliedri, hanno lo stesso significato che è 
stato indicato pei segmenti, per gli angoli, per le superficie. 

95 . Consideriamo un cubo c di lato / ed un altro cubo 
C di lato AB = 3 l. Risulta dalla figura che il cubo C 



consta di 3x3X3 ossia 27 volte il cubo c : cosicché: 

C = (3 x 3 x 3) c. 

Se invece si avesse: AB — l allora si dividerà / in 2 

3 

parti eguali, e quindi c in 27 cubettini c\ e si troverà che il 
cubo C contiene: 11 x 11 x 11 volte c ; ossia 



Se invece non vi è alcuna parte aliquota di l che stia 
esattamente in AB , allora si procederà come al n. 74* 
la regola per trovare la misura del cubo è in ogni caso la 
seguente : 




75 

La misura del volume del cubo è il prodotto 
di tre fattori eguali alla misura del suo lato : 

od anche : 

Il volume del cubo è eguale alla terza potenza 
del suo lato. 

Es. Ss il lato del cubo è di m. 0,5 il suo volume sarà 
dato da: 0,5 ><0,5 x 0,5 cioè da: 0,125 (leggi 125 decimetri 
cubi, o litri). 

96 . Se consideriamo ancora il cubo c di lato l ed il 
parallelopipedo rettangolare P i cui spigoli concorrenti ili 
A sono AB , AC, AD e se * 
ad es. AB — 3 /, AC = 2 l 
AD — 4 / troviamo subito C 
che il parallelopipedo P 
contiene 3X2X4 ossia 
24 volte il cubo c : sicché : 

P= (3 x 1 x 4) c. 

Vale in generale la se- ^ 
guente regola : 

La misura del volume del parallelopipedo ret- 
tangolo è eguale al prodotto, delle misure dei tre 
spigoli concorrenti in uno stesso punto. 

Siccome però 3 x 2 è la misura dell’area della base del 
parallelopipedo P, e 4 è la misura dell’altezza, così. si può- 
anche dire : 

La misura del volume del parallelopipedo ret- 
tangolo è eguale al prodotto dell’area della base 
per 1’ altezza. 

Es. Se la base è di mq. 3,5 e l’altezza di m. 0,6 il vo- 
lume del parallelopipedo è dato da: 3,4 x 0,6 = 2,10 (leggi 
2 metricubi e 100 decimetricubi). 

97 . Se fosse dato un parallelopipedo retto, che abbia 
per basi due parallelogrammi ABCD , EFQG , si costruiscano 




I 6 

i rettangoli AKIB ed EFML che sono equivalenti ai detti 
parallelogrammi: si troverà che i due prismi FCMBDI ed 

EHLACK sono eguali, es- 



pipedo retto è eguale al 
base per l’altezza. 


sendo costruiti allo stesso 
modo, e quindi che il paral- 
lelopipedo dato è equiva- 
lente al parallelopipedo ret- 
tangolo AE LKBF MI. Per 
conseguenza vale la re- 
gola : 

La misura del vo- 
lume di un parallelo- 
prodotto dell’area della 


98. Consideriamo ora un prisma triangolare retto ABC 
EFD : se noi costruiamo i parallelo- 
grammi ABCG,EFHD e completia-mo 
la figura otteniamo il parallelopipedo 
retto ABCGDEFH doppio del prisma 
dato, però la base del parallelopipedo 
è doppia di quella del .prisma. 

Di qui la regola : "■ 

La misura del volume del 
prisma triangolare retto è egua- 
le al prodotto dell’area della base per 1’ altezza. 



99. Dalla Geometria razionale si hanno poi queste altre 
regole 

La misura del volume di un prisma qualunque 
è uguale al prodotto dell’area della base per l'al- 
tezza. 

Es. Se l’area della base del prisma è di centimetriqua- 
drati 5 e l’altezza di centimetri 9 , il volume sarà di centi- 
metricubi 45 . 



77 

La misura del volume di una piramide qualun- 
que è eguale ad un terzo del prodotto dell’ area 
della base per 1’ altezza. 

Es. Se l’area della base della piramide è di centimetri- 
quadrati 5 e l’altezza di cm. g, il volume sarà di centime- 
45 

tricubi — • = i 5. 

3 

100 . Dato un cilindro, se noi confrontiamo il solido da 
esso determinato col prisma retto il cui poligono base sia un 
poligono regolare di un numero abbastanza grande di lati, in- 
scritto nella base del cilindro, siamo per analogia condotti a 
stabilire la seguente regola : 

La misura del volume del cilindro è eguale al 
prodotto dell’ area della base per 1’ altezza. 

Es. Il volume del cilindro di cui la base è cm. 2 di 
ì-aggio e l’altezza cm, 6 è dato da: 75 ) 39^4 O e gfP 75 centi- 
metricubi, 398 millimetricubi e 4 decimi di millimetrocubo). 

101 . Per le stesse considerazioni confrontando il cono 
col volume di una piramide regolare avente un numero ab- 
bastanza grande di faccie, otteniamo la regola: 

La misura del volume del cono è eguale ad 
un terzo del prodotto dell’ area della base per 
1’ altezza. 

Es. Se il cono ha la base il circolo di cm. 5 di raggio e 

6 

1 ’ altezza di cm. 6 si avrà per il volume : (25 X 3,\4i6) x os- 
sia : 157,08 (leggi 157 centimetricubi e 80 millimetri cubi). 

102 . Per la sfera, si ha dalla geometria razionale la se- 
guente regola : 

La misura del volume della sfera è eguale al 
prodotto della superfìcie per un terzo del raggio. 


78 


Es. Il volume della sfera di centimetri io di raggio è dato da : 
io 

( 4 X 3,1416 x io 2 ). — cioè da : 4188,8 (leggi 4 decimetri cubi, 
188 centimetri cubi e 800 millimetri cubi. 

103 . L’unità di misura dei volumi nel sistema metrico 
decimale è il metro cubo (me) cioè il cubo che ha per lato 
un metro (m) e quindi per faccia il metroquadrato (mq). Esso 
dividesi in 1000 decimetri cubi (dmc); ogni decimetro cubo 
in 1000 centimetri cubi (eme); ogni centimetro cubo in 1000 
millimetri cubi (mmc). Invece di: me, di: dmc, di: cmc, di: 
mmc. si scrive spesso rispettivamente m 3 , dm 3 , cm 3 , mm 3 . 

Vogliasi ad es. esprimere che un volume V è tre me, 
centoventicinque dmc, e duecento cmc: si scriverà: V = 
me 3,125,200 Vogliasi ancora esprimere che il volume V è 
tre me, quattro dmc, e duecento cmc: si scriverà: V = 
me 3,004200. 

Reciprocamente, vogliasi enunciare il volume espresso 
da: V= me 3,45. Si dovrebbe dire: V è me 3, più 4 de- 
cimi di me, più 5 centesimi di me; ma il decimo di me non 
essendo un cubo (ma un parallelopipedo che ha per base 
1 mq e per altezza 1 dm) e così pure il centesimo di me non 
essendo pur esso un cubo (ma un parallelopipedo che ha 
per base 1 dmq e per- altezza 1 m), noi leggeremo quella 
misura come se fosse stata scritta cosi: V— me. 3,450 e cioè: 
3 me e 450 dmc, essendo la millesima parte del me ancora 
un cubo e propriamente il dmc. 

Similmente il volume espresso da V — me 3,2513 si leg- 
gerà, raccogliendo a tre a tre le cifre decimali , per la ragione 
anzidetta, come segue: 3 me, 251 dmc e 300 cmc; od anche 
così: 3251 dmc e 300 cmc; o, se si vuole: 3251300 cmc. 

104 . L’ unità di misura per i liquidi e per gii 
aridi chiamasi litro ed equivale al dmc. Il litro si 
suole chiamare unità principale delle misure di capa- 
cità, perchè con questo vocabolo capacità si suole in- 
dicare il volume interno di un recipiente, come ad es. 
il volume dell’ acqua o di grano che lo riempie. 


79 

Per le misure di capacità più grandi si assume 
come unità di misura l’ ettolitro (El) : esso è eguale 
a io decalitri (DI); ogni decalitro è io litri (1), e ogni 
litro io decilitri (di). 

Avendosi ad es. El 3,56 tanto si può leggere: 3' El, più 
56 1 quanto: dmc 356, giacché 1 El equivale a 100 litri e 
quindi a 100 dmc. 

ESERCIZI *) 

1 . Si segnino tre segmenti a, b, c, e si costruiscano le somme 
{a fi- b) e (i + r); indi si verifichi che : a -\- {b -\~ c) e (a -f- b) -j- c 
-sono eguali. 

2 . Un segmento a è lungo m. 3,5 e un altro segmento b è 
lungo m, 4: quale è la misura di a rispetto a bì 

3 . Un segmento a è m. 3,5 e un altro segmento b è m. 4,25 ; 
quale è la misura di a rispetto a bì 

4 . Un angolo è 40°. 5'. 20"; lo si esprima in gradi, decimi e 
centesimi di grado. 

5 . Due angoli si dicono supplementari se sommati insieme 
dànno 180 0 . Un angolo è 40°. 5'. 20"; qual’ è l’angolo supple- 
mentare? 

6. Due angoli si dicono complementari se sommati insieme 
danno 90°. Un angolo è 40°. 5' 20"; qual’ è l’angolo comple- 
mentare? 

7 . Completare le seguenti eguaglianze : 

i8° . 12' . 35" -f- 142 0 . 57' . 36" q- 8° . 16' . 20" = . . . . 

45° • 8' . 23", 5 — 20°, 30'= .... 

(45 0 - 8 ' . 23", 5) X 5 = • • • • 

(45 0 . 8' . 23", 5) : 2 = . . . . 


*) Questi esercizi vanno dati qui, dopo il cap. che tratta 
della misura ; ma siccome nell’Aritmetica pratica si tratta del si- 
stema metrico decimale e dell’estrazione della radice quadrata 
nella III a classe, così conviene rimandare la risoluzione della mag- 
gior parte di questi esercizi alla III a classe, come prescrivono i 
programmi. L’insegnante vedrà facilmente quali di questi eser- 
cizi potrà proporre frattanto agli alunni anche nella II a per l’im- 
mediata applicazione delle regole apprese sulla misura, acciò ri- 
mangano impresse nelle menti di essi per non dovere ripeterle 
poi un’ altra volta nella III a classe. 


8 ° 


8. Quale angolo descrive la lancetta maggiore di un orologio 
in 30 minuti ? 

9. I cateti di un triangolo rettangolo sono dm. 4 cm. 2 ; 
qual’ è P area ? 

10. I cateti di un triangolo rettangolo sono m. 4,5 e m. 3,75; 
quale l’-area? 

11. I lati paralleli di un trapezio sono ni. 5 e m. 7 e l’area 
del trapezio è mq. 21 ; quale ne è 1’ altezza ? 

12 . Per tappezzare una stanza rettangolare lunga m. 9,50 e 
larga ni. 4,8 si ha una stoffa larga m. 0,80; quanti metri di questa 
stoffa occorrono ? 

13 . Quanti macigni occorrono per selciare una strada larga 
m. 20 e lunga m. 155 se i macigni sono quadrati di dm 2 di 
lato ? 

14 . Quante viti saranno contenute in un ettaro di terreno 
ponendole alla distanza di ni. 0,80 fra loro e in filari distanti 
del pari 111. 0,80 ? 

15 . Il disegno topografico è fatto in scala da x a 1250 (vale 
a dire che ad ogni metro del disegno ne corrispondono 1250 sul 
terreno); quale area sul terreno corrisponderà ad un trapezio che 
ha per area cm. 2 5,3 e che ha le basi rispettivamente di cm. 3 e 
2? Quale lunghezza in 111. corrisponde sul terreno a nini. 25 del 
disegno ? 

16 . Un proprietario permuta un suo terreno di ettari 5,6 e 
del valore di cent. 50 al„’mq. con quello di un altro proprietario, 
che è di ettari 7,05 e del valore di cent. 40 al mq. Quante lire 
deve dare il primo proprietario al secondo ? 

17 . I tre spigoli che si riuniscono in un vertice di un paral- 
lelopipedo rettangolo sono dm. 9 dm. 5 e m. i, 5 - Qual’ è la su- 
perfìcie del parallelopipedo ? 

18. Lo spigolo di un prisma retto triangolare è di dm. 9 ed 
i lati di una delle due basi sono dm. 5> dm. 7 e dm. 3)9* Cal- 
colare la superfìcie laterale del prisma. 

19 . Calcolare la superfìcie totale di un prisma retto che ha 
per base un rettangolo di lati ; dm. 7 e dm. g, e per spigolo un 
segmento di x m. 

20 . Qual’ è l’area della superfìcie laterale di una piramide 
regolare la quale ha per base un esagono regolare di dm. 8 di 
lato e per apotema m. 2,91. 

21 . Oual’ è l’area della superfìcie totale di un prisma retto 
a base quadrata se il lato della base è m. 0,5 6 1 altezza m. 2,4? 


8i 


22 . Una camera è lunga m. 6,50, larga m. 4,08, alta m. 5. 
Ha una porta di m. 2,20 per m. 1,50 e due finestre ciascuna di 
m. 1,80 per m. 1,20. Quanti rotoli di - carta sono necessari per 
tappezzare le pareti sapendo che questi rotoli (che si vendono 
interi) sono lunghi m. io e larghi cm. 50, e lasciando libera nelle 
pareti una striscia in basso (abbassamento) alta cm. 30 e una 
striscia in alto (cornice) alta cent. 20? 

23 . Il raggio di un circolo è m. 3,7 : quale ne è la lunghezza 
della circonferenza. Quale è la misura di questa circonferenza ri- 
spetto a quella di un altro circolo il cui raggio è m. 7,4. 

24 . Il raggio di un circolo è m. 3,7, quale ne è l’area? E 
quale è la misura di quest’area rispetto a quella di un altro cir- 
colo il cui raggio è ni. 7,4 ? 

^ 3 

25 . Di quanti metri è un arco che è di una circonferen- 

7 

za, il cui diametro è metri 2 ? 

23 . Quale sarà il raggio di un circolo la cui circonferenza è 
lunga 1 metro ? 

27 . Un cavallo percorre un ippodromo circolare del raggio 
di m. 505 in 5', 4". Quanti metri percorre in un secondo? 

2 S. La misura presa, con un nastro, della circonferenza di 
un tronco d’albero è di m. 8. Qual’ è il raggio ? 

29 . Un cilindro ha per base un circolo di ni. 0,25 di raggio 
e per altezza m. 0,8; quale è la superficie laterale e quale la su- 
perficie totale ? 

30 . Un cono ha un lato di un metro e il diametro della base 
pure di un metro ; quale ne è la superficie totale ? 

31 . Una sfera ha per raggio un metro, una seconda sfer* ha 
per raggio m. 0,5. Quale è la misura della superficie della prima 
rispetto alla superficie della seconda ? 

32 . Due circonferenze concentriche sono lunghe l’ima 3 metri 
e 1 ’ altra m. 4,50. Quale è 1 ’ area della corona circolare da esse 
formata ? 

33 . Un cubo ha lo spigolo doppio di quello di un altro cubo. 
Qual’ è la misura della superficie totale del primo rispetto alla 
superficie totale del secondo ? 

34 . La superficie laterale di un cono, il cui lato è doppio 
del raggio della base, è cm 2 80. Quale è il raggio della base ? 
(Estr. della radice quadrata). 

35 . U11 decoratore deve dipingere una sala circolare del rag- 

fi 


82 


gio di m. io e che ha il soffitto a cupola emisferica colle pareti 
alte m. 8, a L. 9 al mq. Quale sarà la spesa? 

06 . Calcolare la superficie totale di una caldaia cilindrica con 
fondi emisferici, lunga m. 9 e del raggio di m. 0,80. 

37 . Un cubo ha lo spigolo doppio di quello di un altro cubo. 
Qual’ è il rapporto fra il volume del primo e quello del secondo ? 

38 . Il volume di un cubo è di dmc. 64 e la sua superficie è 
di dmq. 96. Qual’ è in dm. il suo spigolo? 

39 . L’altezza di un cono è dm. 8 e il raggio della base è 
dm. 1,5. Calcolare il volume del cono. 

40 . Calcolare il volume di una sfera di m. 1,5 di raggio e 
confrontar questo col volume di un’altra sfera di raggio doppio. 

41 . In quale rapporto stanno i volumi di un cono e di un 
cilindro che hanno la stessa base e la stessa altezza ? 

42 . Quanto pesa un cubo massiccio di rame di m. 0,18 di 
lato, sapendo che un dmc. di rame pesa kg. 8/8 ? Quanto pese- 
rebbe se fosse cavo e di grossezza eguale a 2 cm. ? 

43 . Quanti metri cubi d’aria contiene una sala lunga m. 9,59 
larga m. 5,70 e alta m. 4,85 ? 

44 . Una torre cilindrica ha m. 20 d’ altezza, m. 8 di dia- 
metro interno e 54 cm. di spessore. Quanti me. di muratura 
contiene ? 

45 . In un vaso cilindrico alto cm. 2,2 e di cm. 8 di raggio 
e che contiene dei liquido, si immerge una palla di metallo che 
fa innalzare il liquido nel cilindro di centim. 6. Qual’ è il volume 
della palla ? 

46 . Se in una vasca parallelopipeda rettangolare alta m. 2, 
larg» m. 1 e lunga m. 12 versano dell’acqua due rubinetti dai 
quali sgorgano litri 2 al secondo, in quanto tempo si riempirà 
la vasca ? 

47 . Un ettaro di terreno dà 12 quintali di grano. Sapendo 
che un me. di grano pesa kg. 76, quanti ettolitri di grano si avran- 
no ? F. quale sarà il prezzo che si ricaverà se l’ettolitro di grano 
costa L. 15 ? 

48 . Una porzione di fieno che occupa uno spazio equiva- 
lente ad un parallelopipedo rettangolare di mq. 0,20 per m. 0,20 
pesa kg. 0,95. Quale è il peso di un me. di fieno? 

49 . La circonferenza di un tronco d’albero cilindrico lungo 
m. 8 è m. 3,5. Si trovi il volume dell’albero. 

50 . Con una palla di creta di diametro cm. 12 si forma un 


8 3 

cono, la base del quale ha per raggio cm. 2. Calcolare l’altezza 
del cono. 

Osservazioni. La geometria razionale dimostra la seguente 
notevole proposizione : Il quadrato costruito sull’ ipotenusa di 
un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei qua- 
drati costruiti sui cateti. 

Questa proposizione si chiama teorema di Pitagora , dal nome 
del geometra greco, che per primo la scoperse. Possiamo anche 
dire pei concetti svolti nel cap. II 0 : 

l.a misura del quadrato dell’ ipotenusa di un triangolo rettan- 
golo è eguale alla somma delle misure dei quadrati dei cateti. 

O più brevemente : 

Il quadrato dell’ ipotenusa è eguale alla somma dei qua- 
drati dei cateti, quando per lati del triangolo rettangolo s’in- 
tendano le loro lunghezze espresse in unità lineare. 

Così ad es. se si ha un triangolo rettangolo i sui cateti sono 
di m. 4 e di m. 3, il quadrato dell’ipotenusa è mq. 16 -(- raq. 9, 
cioè mq. 25, e quindi 1 ’ ipotenusa è m. 5. E se 1 ’ ipotenusa è 
di m. 5 e un cateto di m. 4, il quadrato dell’ altro cateto è di 
mq. 25 - mq. 16, cioè mq. 9, e quindi il cateto è di m. 3. 

Dal teorema di Pitagora e dalle regole precedenti sulla misura 
si ricava la soluzione dei seguenti esercizi : 

51 . Si verifichi che il rapporto fra l’apotema e il lato del trian- 
golo equilatero è 0,29 con approssimazione per eccesso nei cen- 
tesimi dell’ unità. 

52 . Si verifichi che il rapporto fra l’apotema ed il lato del- 
l’esagono regolare è 0,87. 

53 . Calcolare l’area del triangolo equilatero di lato m.,3,45. 

54 . Calcolare l’area dell’esagono regolare di lato m. 1,05. 

55 . Dato un quadrato di lato di cm. 5, calcolare il raggio 
del circolo circoscritto al quadrato. 

5 (J. Dato un circolo di raggio di dm. 3, calcolare il lato del 
quadrato inscritto. 

57 . Con la terra di un’ aiuola, di base esagonale regolare col 
lato di m. 3, si vuol formare un’ altra aiuola di base circolare e 
della stessa altezza. Quale sarà il raggio della nuova aiuola? 

58 . Da un tronco d’albero cilindrico di m. io di lunghezza 
e di m. 0,50 di raggio si ricava una trave di base quadrata in- 
scritta nel tronco d’albero. Quale sarà il volume della trave ? 

59 . La superficie totale di un dado è di mq. 25. Qual’ è la 


8 4 

unghezza dello spigolo del dado ? 

60 . Quanti me. contiene un cono se la sua sezione attraverso 
l’asse è un triangolo equilatero di mq. 4 di area? 

61 . La superficie totale del cono è mq. 28,31; quella laterale 
è mq. 20,81. Qual’ è il volume del cono? 

62 . Con una palla di creta del diametro di cm. 12 si vuol 
formare un cono alto cm. 30. Quale sarà il raggio della base del 
cono ? 


CAPITOLO III.° 


Istrumenti ed. oggetti di disegno. 

105. Oltre al disegno a mano libera vi è il disegno 
geometrico; questo ha per iscopo la rappresentazione, me- 
diante appositi istrumenti, delle figure geometriche sopra una 
superficie, generalmente sopra un piano. 

Un principio che il disegnatore deve sempre ricordare è 
questo: che la risoluzione di un dato problema per mezzo di 
costruzioni geometriche è da ritenersi tanto più semplice e 
più esatta quanto minore è il numero delle costruzioni stesse 
e quanto più esatto e facile è l’uso degli istrumenti. 

106. Un punto si segna con la punta di una matita, o 
con l’incrocio di due linee, o con l’estremità di una linea. 
Quando per un punto devono passare molte linee, per la 
nitidezza del disegno, giova circondare il punto con un cir- 
colino, dal quale si partono le linee medesime. 

107. I principali istrumenti, dei quali si fa uso nel di- 
segno geometrico elementare, sono : la riga, la squadra , e il 
compasso. 

*) Qui daremo i primi rudimenti di disegno geometrico li- 
mitandoci alle più semplici costruzioni della geometria elemen- 
tare piana. 




Tra i compassi sono da distinguersi quello a punte fìsse 
e quello a punte mobili inserite in ciascuna 
delle gambe del compasso mediante una pie- j 
cola vite. 4 

Una delle due punte viene sostituita talora 
da un portamatita o da un tiralinee. 

Il tiralinee è anche un istrumento che serve II 

a tracciare delle rette od altre linee coll’inchio- r, 

stro, senza far uso del compasso. = L 


108. Gli oggetti che comunemente si usano E, Ij 
nel disegno geometrico, sono la carta , la ma ~ 
tita , l’inchiostro , la gomma elastica , le penne e 
il temperino. J,g 

Le matite sono di varie qualità, secondo le 
fabbriche da cui provengono ; esse sono contras- | 
segnate da numeri secondo la loro durezza. La 
matita deve essere bene appuntita, epperò deve essere di 
buona qualità, perchè altrimenti la punta si rompe o si con- 
suma facilmente. 

Le linee che si disegnano colla matita devono essere ni- 
tide e precise; esse vanno segnate leggermente e in modo da 
poterle facilmente cancellare colla gomma elastica, ove ciò 
occorresse, senza lasciar traccia alcuna sulla carta. 

La punta della matita deve aver la forma conica e rego- 
lare affinchè, tenendola verticalmente e scorrendo sull’ orlo 
della riga o di altro oggetto analogo, la linea tracciata riesca 
più esatta. 

La gomma elastica non deve esser troppo dura alla tem- 
peratura ordinaria, nè troppo tenera, e non deve lasciar sulla 
carta alcuna traccia: per ciò, prima di usarla, la si prova in 
disparte su un pezzetto di carta. 

L’ inchiostro di china serve a passare in nero il disegno 
già fatto a matita. Esso vendesi in piccoli bastoncini. Per 
usare l’inchiostro di china lo si discioglie prima in un po’ 
d’acqua, posta in una ciotola o scodellino, fregando 1’ estre- 
mità del bastoncino sul fondo. Si introduce poi l’ inchiostro 


86 


nel tiralinee bagnando una penna pulita, o l’estremità di un 
pezzetto di carta nell’ inchiostro stesso, e passandolo fra le 
punte del tiralinee, non perfettamente chiuse. 

Bisogna badare che ìe laminette del tiralinee, sieno sem- 
pre pulite esternamente, e che le punte siano vicine così 
da poter disegnare le linee della grossezza di cui si ha bi- 
sogno. Basterà a tal uopo provare sempre il tiralinee su un 
foglio di carta a parte, che si tiene sul disegno prima di pas- 
sare coll’inchiostro. 

Tracciando una circonferenza col tiralinee bisogna porre 
attenzione che ritornando al punto dal quale si è incomin- 
ciato a tracciare la linea, nessuno si accorga di questo punto 
di unione, e il tratto risulti sempre nitido ed uniforme. È per 
ciò che per tracciare un circolo col compasso, affinchè la di- 
stanza delle punte non cangi facilmente, si stringe sufficien- 
temente la cerniera. 

La punta della matita o del tiralinee del compasso deve 
combaciare col punto del disegno quando si tiene il com- 
passo verticale, perchè è più facile tenere il compasso in que- 
sta posizione ruotandolo intorno alla sua punta fissa, che non 
in una posizione inclinata. La testa del compasso deve essere 
tenuta fra le prime tre dita della mano. 

109. Verifica della riga. Per verificare se una riga è 

esatta si tracci colla matita appuntita 
la linea AB e poi si faccia comba- 
ciare. come indica la figura, il punto 
B della riga col punto A. Se nella 
seconda posizione la linea tracciata 
combacia colla prima, la linea è una retta, e la riga è esatta. 
Se ciò non succede, la riga non è esatta e la si riduce tale 
con la carta smerigliata. 

HO. Verifica della squadra. Si appoggia un cateto della 
squadra ABC lungo una retta AB e si segna la retta AX fa- 
cendo scorrere la punta della matita lungo l’altro cateto! 
indi'si rovescia la squadra in modo che il lato AB si porti 



8 7 

in AB’. Se l’orlo dell’altro cateto combacia con AC come 
nel primo caso, la squadra è esatta. Se invece si verificano 
gli altri due casi, allora bisogna togliere dalla squadra la 
parte tratteggiata. 



Per disporre bene le figure sulla carta, anche per i pro- 
blemi più semplici, bisogna squadrare la carta. Questa ope- 
razione consiste nel disegnare un rettangolo ABCD le cui 
diagonali sono date da quelle del foglio del disegno; basta 


Èf'\- ‘ „-""C 



col centro nel punto d’incontro O segnare i punti A,B,C,D 
ad eguale distanza da O, indi congiungere questi punti. 

Costruzioni fondamentali. 

111. Nella risoluzione di un 

problema le linee date si segnano — 

a tratto continuo, sottile ; le linee 

trovate a tratto continuo più mar- 

cato oppure a tratto e punto alter- 



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nati; le linee di costruzione ausiliare, a tratti interrotti, op- 
pure a punti *). 

112. Costruire un triangolo, dati i tre lati a, 
b, c, dei quali uno qualunque è minore della somma 
degli altri due. 


Costruz. — Scelto un segmento AB 
= c come base del triangolo e fatto cen- 
tro, prima ^in A con raggio a , e poi in B 
con raggio b si descrivano due archi di 
cerchio incontrantisi in un punto Ce colla 
riga si uniscano A e B con C. Il trian- 
golo ABC è il triangolo richiesto. 

Se si scambiano i lati a e b fra di loro, si ha il trian- 
golo ABC eguale al triangolo ABC. 

Es. i - Costi uire il triangolo isoscele , data la base e un altro lato. 

Es. 2 - Costruire il ti-iangolo equilatero , dato il lato. 

113. Per un dato punto condurre la parallela 
ad una retta data. 

Costruz. i. Siano P ed r il punto e la retta: si faccia 
combaciare con r l’ ipotenusa 
di una squadra e lungo il ca- 
teto AB di essa si applichi la 
riga. Si faccia poi scorrere la 
squadra finché l’ipotenusa ven- 
ga a passare per P: e si tracci 
la retta r’, che possa poi colla 
riga essere prolungata. La r è 
la retta parallela alla r passante per P. 




*) L alunno dovrà abituarsi a tracciare cogli istrumenti ed a 
mano libera, tanto sul foglio del disegno che sulla lavagna, di 
queste rette in posizioni diverse. 


8 9 

Costruz. 2. — Se si ha una riga coi due orli esattamente 
paralleli, si faccia passare uno de- 
gli orli per P e sia A il suo punto 
d’incontro con la retta r. Si se- 
gni nel secondo orlo il segmento 
BC—AP\ i punti Pe C ci da- 
ranno la parallela condotta da P 
alla r. 

Oss. — Siccome la riga ha 
una larghezza relativamente pic- 
cola, così i punti P e C sono troppo vicini, e quindi non si 
può fidarsi della esattezza di questa costruzione, eccetto che 
si trasporti la riga convenientemente in posizioni successive : 
in tal caso però è da badare che la costruzione, per altre ra- 
gioni diviene più complicata, e quindi è opportuno ricorrere 
ad altre costruzioni *). 

Costruz. 3. — Si traccino sopra l’orlo di una lista di carta 
due segmenti consecutivi eguali AO, OP, e, posto il punto 
P della lista nel punto P dato, si faccia girare intorno a P 
l’orlo della lista finché A venga a trovarsi sulla retta r. Si 
congiunga allora un punto qualunque B della r con O e si 
faccia OC = OB\ la retta PC è la richiesta. Invece della lista 
di carta si può talvolta far uso anche del doppio decimetro. 

Oppure: scelto il punto A sulla retta r e segnato il seg- 
mento AP sopra una lista 
di carta, piegando l’orlo di 
questa in modo che P venga 
a cadere in A. il punto, ove 
l’orlo viene piegato, ci dà 
O : segnato questo, si pro- 
cede come precedentemente. 
Costruz. 4. — Si scel- 


*) Questa costruzione si è qui voluta accennare per dimo- 
strare che se la risoluzione dei problemi di geometria elementare 
si può teoi-iccimente eseguire anche con la riffa a due orli, o col 
solo compasso, quasi sempre tali metodi non sono praticamente 
da preferirsi nel disegno. 




go 

gano sulla r due punti A e B abbastanza distanti e si costrui- 
sca il triangolo AP'B eguale al triangolo APB. La retta PP' 
sarà la parallela richiesta. 




Costruz. 5. — Scelto un segmento AB sulla r e fatto cen- 
tro successivamente in P e 

in B, con raggi eguali ad P iP^ 

AB , AP si descrivano i due ‘ 

archetti di circolo che si in- 
contrano in P.’ La retta PP' 

è la richiesta. ^ g — ■ — 

Es. a inano libera. Trac- 
ciare delle rette pai-allele in varie posizioni. 


114. Pei* un dato punto condurre la perpendi- 
colare ad una retta- data. 

Costruz. 1. — Sia r la retta e. sia A il punto. Se A è 

sulla retta r, basta applicare lungo 
r un cateto della squadra in modo 
che il vertice dell’angolo retto 
cada in A : l’ altro cateto allora 
segna la perpendicolare richiesta, 
la quale si può poi prolungare o 
colla riga o colla squadra stessa. 

Se invece il punto dato è un 
punto P fuori della retta e abba- 
stanza vicino alla r, allora, posta 
la squadra come si è detto pre- 
cedentemente, la si fa scorrere lungo una riga posta a contatto 
coll’ ipotenusa finché il cateto passante per A e perpendi- 



9 1 

colare alla r passi per P, la retta segnata lungo questo cateto 
sarà la perpendicolare richiesta. 

Costruz. 2. — Se il punto dato è il punto M sulla retta 
r si prendano i due segmenti MA , MB eguali e da parti oppo- 
ste di M ; indi con centri A e B e con raggio maggiore di AM 
si descrivano sopra e sotto di 
AB due archetti incontrantisi 
nei punti P P'. ha retta PP 
sarà la perpendicolare condotta 
da M alla r. 

, Se invece il punto dato è 
il punto P fuori di r, si de- 
scriva con centro in P un arco 
che tagli in due punti A e B 
la retta r ; indi con centri A e 
B e col medesimo raggio PA 
si descrivano due archetti di circolo' al disotto di r, i quali 
si incontrano in P'. La retta P P' sarà la richiesta. 

115. Condurre la perpendicolare ad una retta 
da un estremo di questa. 

Sia r la retta e B un estremo, al 
di là del quale supponiamo che la retta 
non si possa prolungare. Si segni un 
segmento qualsiasi AB e su AB si co- 
struisca il triangolo equilatero ABC. Si 
prolunghi AC facendo CD = AC si 
unisca B con D. La retta BD sarà la 
perpendicolare richiesta" 

116. Altra costru- 
zione della parallela ad 
una retta passante per 
un dato punto. 

Si conduca da P la per- 
pendicolare PA alla r, e da un altro punto B di r si conduca 





92 

il segmento BP' perpendicolare ad AB ed eguale a PA. La 
retta PP' sarà la parallela alla r condotta da P. 

117. Retta parallela ad una retta, e ad una 
data distanza da questa. 

Costruz. i. — Se d è la distanza data, si innalzi in un punto 
A di r il segmento AP perpendicolare alla r di lunghezza 
eguale a d\ e da un altro punto B si conduca la perpendicolare 
BP' alla r ed eguale pure a d, e si avrà la retta PP' richiesta. 

Costruz. 2. — Con centri nei punti A e B della retta r 
si descrivano due archi di cerchio il cui raggio sia eguale al 
segmento d. La tangente comune PP' a questi due archi è la 
retta domandata. 

Oss. — E da osservare però che è preferibile la prima 
costruzione, perchè, mentre in questa i punti P e P' sono 
determinati e quindi non si ha che da condurre la retta PP\ 
nella seconda, non essendo P e P' determinati, la costruzione 
della tangente comune ai due archi presenta qualche incertezza. 

Es. a mano libera i. Tracciare delle rette parallele e delle 
rette perpendicolari a due a due. 

2. Eseguire le costruzioni precedenti cogli istigamenti fd a 
inano libera. 

118. Costruire ùn angolo eguale ad un an- 
golo dato, essendo dato un lato. 

Sia AOB l’angolo dato, è VC il lato dato: si vuol 
fare un angolo di cui VC sia un lato, e che sia eguale ad 



AOB. Con centro in O e raggio OA qualsiasi si descriva 
l’arco AB ; con lo stesso raggio ma con centro in V si de- 


93 

scrrwa a partire del lato VC l’arco CD, e su questo si segni 
il punto D tale, che il segmento CD risulti eguale al segmento 
AB, e si congiunga V con D. L’angolo D VC è il richiesto. 

119. Altre costruzioni della parallela passante 
per un dato punto ad una data retta. 

Costr. i. — Si con- 
duca dal punto dato P la 
retta PA la quale faccia 
l’angolo B' PA eguale al- 
Langolo PAB ; la retta 
PB’ è la parallela doman- 
data. 

Costruz. 2. — Con centro in un punto U della retta r e con 

raggio OP si descriva 
la semicirconferenza 
APB e si faccia l’angolo 
BOP ’ eguale all’angolo 
AOP. La retta OP' in- 
contra la circonferenza 
nel punto P' , che, con- 
giunto con P, dà la parallela domandata. 

120. Costruire il parallelogramma, dati due 
lati non paralleli e l’angolo da essi compreso. 

Costruz. — Sopra un segmento AB eguale ad un lato 
dato b si costruisca l’ angolo CAB eguale all’ angolo dato 





V, e si segni il segmento AC eguale all’ altro 


di vertice 


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Iato a. Si conducano poi per B e C le parallele rispettiva- 
mente alle rette AC e AB ; il parallelogramma ABCD è il 
richiesto. 

Es. i. Costruire un triangolo rettangolo dati i due cateti. 

» 2. Costruire un rettangolo, dati i lati non paralleli. 

» 3. Costruire un rettangolo, dati un lato e una diagonale . 

» 4. Costruire un quadrato, dato il lato. 

» 5. Costruire un triangolo , dati due lati e l’angolo da essi 

eoìnpreso . 

Es. 6 . Costruire il parallelogramma,, dati due lati non paral- 
leli ed una diagonale. 

Es. 7. Costruire un rombo, dati un angolo ed un lato. 

121. Dividere pei* metà un segmento dato. 

Costruz. 1. — Sia AB il segmento dato. Con centri A e B 
e con raggio eguale o maggiore di AB, si descrivano due 
archetti di circolo sopra e sotto la retta AB, e siano P P' i 



"D 


loro punti d’ incontro. La retta PP’ incontra AB nel punto 
di mezzo M. 

Costruz. 2. — Si conducano per A e B due coppie di 
rette parallele AC e BD, AD e BC. La diagonale del paial- 
lelogramma ABCD così formato incontra AB nel suo punto 
di mezzo M. 

122. Dividere un segmento in più di due parti 
eguali. 

Vogliasi, ad es., dividere AB in 4 parti eguali. Si con- 


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duca per A una retta AX e su di essa si segnino quatti o 
segmenti A i, i 2, 2 3, 3 4 eguali ad 
un segmento scelto ad arbitrio. Si 
congiunga il pulivo 4 con B. e dai 
punti 3, 2, 1 si conducano la paral- 
lele alla i?4 sino ad incontrare in 
E, D , C il segmento dato AB. Sarà 
AB così diviso in quattro parti e- 
guali. 




123. Costruire la bisset- 
trice di un angolo dato. 

Costruz. 1. — Sui lati ab dell’angolo dato (convesso) si 
prendano due punti A e B equidistanti dal vertice F;econ 

centri A e B con raggio maggiore 
di AB si traccino due archetti d\ 
circoli, che si incontrano in un punto 
P. La retta VP è la bissettrice ri- 
chiesta. 

Costruz. 2. — Oppure, oltre ai 
punti A e B si prendano i punti C 
e D pure ad eguale distanza da V ; 
i segmenti AD, BC si incontrano 
in un punto che unito con V dà la bissettrice dell’ angolo 
domandato. 

Costruz. 3. — Ancora, dai punti A e fi si conducano le 
parallele ai lati a e b dell’angolo: esse si 
incontrano in un punto P. La retta VP è 
la retta domandata. 

Oss. — Se si ha una riga a due orli 
paralleli si può costruire il rombo VAPB 
applicando prima uno degli orli lungo la 
retta a , poi lungo la retta b, e tracciando 
le due rette AP, BP. 

Però le due prime costruzioni sono 
più sicure, e sono quindi a questa prefe- 
ribili. 



9 6 


124. Dividere un angolo retto in 3 parti eguali. 

Costruz. — Dato l’angolo retto BVA , si descriva con 
centro V l’arco di circolo AB e si costruisca il segmento BC 

eguale a BV -, l’angolo C VA è 
la terza parte dell’angolo retto; 
prendendo poi CD = AC e con- 
giungendo V con D si avrà pure 

A A 

che BVD , DVC sono la terza 
parte dell’angolo retto AVB. 

Oss. In generale un angolo 
non retto non può essere diviso 
in tre parti eguali colle riga e 
col compasso. 

Eserc. i. Risolvere i problèmi precedenti con gli strumenti e 
a mano libera. 

2. Costruire la bissettrice dell’ angolo opposto alla base di un 
triangolo isoscele. 

3. Costruire le bisettrici dei tre angoli di un triangolo . (Esse 
si incontrano in uno stesso punto). 

4. Costruire le perpendicolari passanti pei punti dì mezzo dei 
lati di un triangolo . (Esse si incontrano in uno stesso punto). 

5. Costruire le. mediane di un triangolò. (Esse si incontrano 
in uno stesso punto). 

6 . Eseguire le costruzioni 3, 4, 5 nel medesimo triangolo. 



125. Costruire il circolo che passa per tre 
punti dati non situati sulla stessa retta. 


Siano ABC i tre punti dati. 
Pei punti di mezzo M ed N dei 
segmenti AB, BC si innalzino ad 
essi le perpendicolari ; queste si 
incontrino in O. 11 punto O è il 
centro e OA il raggio del circolo 
richiesto. 

126. Costruire la tan- 
gente ad un circolo, in un 
punto di esso. 




97 

Dato un punto A della circonferenza di centro O si 
conduca il raggio OA indi la perpendicolare ad OA ; questa 
perpendicolare sarà la tangente domandata. 


127. Costruire le tangenti ad un circolo, le 
quali passino per un 
punto esterno ad esso. 

Costruz. i. — Sia O 

il centro del circolo^ dato, 
e P il punto esterno ad 
esso. Si tiri il segmento OP, 
il quale taglia la circonfe- 
renza in un punto. In questo 
punto si conduca la perpen- 
dicolare ad OP e si de- 
scriva l’arco di circolo di 
centro O e di raggio OP, 
che taglia la retta perpen- 
dicolare nei punti A e B. Si congiungano A e B con O fino 
ad incontrare il circolo in A', B' rispettivamente. Le rette 
PA' , PB' sono le tangenti richieste. 

Costruz. 2. — Si descriva la circonferenza che ha per 
diametro OP (dividendo perciò OP per metà in M) : essa 
incontra il circolo dato nei punti A, B. Le rette PA ; PB , sono 
le tangenti domandate. 




7 


98 


Oss. — La retta OP è la bissettrice dell’angolo formato 
dalle due tangenti. 



128. Costruire le tangenti ad un circolo, le 
quali siano parallele ad una retta data. 

Costruz. — Sia O il centro del circolo, ed r sia la retta. 
Per O ri conduca il diametro AB perpendicolare alla retta 
data r ; le tangenti in A e in B sono le tangenti richieste. 



129. Costruire un circolo che sia tangente a 
due date rette e sia di raggio dato. 

Costruz. — Sia c il raggio dato e sia V il punto d’in- 
contro delle due rette date a e b. Conducasi da V la bissettrice 
dell’angolo ( a b) e la parallela alla retta a che abbia dalla a 



99 

la distanza eguale al segmento dato c. 11 punto d’incontro O 


di questa parallela colla biset- 
trice è il centro, e la distauza 
OA della retta a è il raggio del 
circolo domandato. 

Se le rette a e b sono pa- 
rallele e il iaggio c è eguale 
alla metà della loro distanza, la 
soluzione è evidente. 



Eserc. i. Dato un arco di circolo , determinare il suo centro. 

2. Descrivere il circolo passante pei vertici di un dato triangolo 
(circolo circoscritto al triangolo). 

3. Descrivere il circolo tangente ai lati di un triangolo (cir- 
colo inscritto al triangolo). 

4. Descrivere un circolo che passi per un punto della bisset- 
trice di un angolo dato e sia tangente ai lati dell' angolo . 


130. Costruire le tangenti esterne comuni a 
due circoli. 


Costr. Siano O, O i due centri dei circoli di raggi OA 
ed OA' . Si costruisca il circolo di centro O e di raggio 
eguale alla differenza; O' A' — OA dei due raggi e da O si 
conducano ad esso le tangenti OS, OC. Si conducano poi i 
raggi OF OD perpendicolari alla retta OB e i raggi OG 


T\ 



O' E perpendicolari alla OC e della stessa parte dell’asse cen-, 
trale OO'. Le rette DF , GB sono le tangenti richieste. 


IOO 


Oss. — Se si prolungano, esse si incontrano in un punto 
dell’ asse centrale. 

131. Costruire le tangenti interne comuni a due 
circoli. 

Costruz.* — Si descriva un circolo di centro O' e di raggio 

eguale alla somma OA -f- O' A' dei raggi, e si conducano ad 

esso da O le 

tangenti O B 
ed OC. Inol- 
tre si condu- 
cano da O i 
raggi OG,OF 
perpendicola- 
ri ad OC e 
OS, dalla par- 
te opposta 
dell’asse cen- 
trale OO'. Le 

rette DF, EG sono le tangenti richieste. 

Oss. Esse pure incontratisi in un punto dell’asse centrale. 



132. Costruire un 
arco di raggio dato, 
tangente ad una retta 
e ad un circolo. 

Sia O il centro del dato 
circolo, r la retta data e sia 
d il raggio dell’ arco che si 
deve costruire. Si conduca 
una retta parallela ad r alla 
distanza d da essa, e la si 
tagli in P con arco di cer- 
chio di centro O e di rag- 
gio eguale alla somma del 
raggio del circolo dato e della 
l’arco cercato. Il punto A dove 



distanza d. P è il centro del- 
OP incontra il circolo di 



IOI 


centro O e il punto B , piede della perpendicolare condotta 
da P alla r sono i punti di contatto dell’arco. 

Oss. — - L’arco AB si chiama Varco di raccordamento fra 
la retta r e il circolo di centro O. Il disegnatore deve pro- 
curare che non si vedano i punti ovve avviene il raccordamento 
in modo che l’arco di circolo di centro O, l’arco tangente e 
la retta formino una linea di tratto uniforme .specialmente 
quando si passa il disegno coll’ inchiostro. 

Costruzioni dei poliedri con cartoncino 

Si ritagli da un cartoncino un triangolo equilatero A' B' C ’ , 
indi con una listerella di carta, o col compasso si dimezzino i 
lati A' B' , B'C', A'C’ nei punti A,B,C. Con un temperino, ma 
senza tagliare, si solchi alcun poco il cartoncino lungo le rette 
AB, BC, CA, indi si sollevino e si riuniscano i tre triangoli 
ABC, BCA' , CAB' , in modo che i tre punti A' B'C' si riuni- 


B’ 



scano in uno solo. Se si avrà a disposizione un poco di carta 
gommata questi tre punti A’B'C' potranno essere uniti in modo 
da formare un solido. Esso è il tetraedro regolare ; e la figura 
qui accanto ne è lo sviluppo sul foglio del disegno. Esso è un 
solido racchiuso da 4 triangoli equilateri tutti fra loro eguali. 

Si ritagli un pezzo di cartoncino che abbia la forma di una 
croce composta di 6 quadrati tutti eguali fra loro e disposti come 
nella figura. Dopo di aver solcato i tratti comuni a due quadrati 


102 


con un temperino, si pieghino, rizzandoli verticalmente, i qua- 
| | drati 4 5 , e 6 e il 

rettangolo 1 e 2, e 
infine si pieghi an- 
cora il quadrato 1. 
Si avrà così un soli- 
do, propriamente il 
cubo o 1’ esaedro 
regolare. La figura 
a sinistra ne è lo 
4 sviluppo. Un dado 

J ha la formadel cubo. 

Similmente, ritagliando un pezzetto di cartoncino, che abbia 
la forma di un cpia- 
drato, e segnati i 
quattro triangoli e- 
quilateri eguali e 
consecutivi a quello 
del quadrato, indi 
ripiegando i cpiattro 
triangoli in modo 
che i vertici C'A'B’ 
coincidano in C,A e 
B, si avrà una pi- 
ramide regolare a 
base quadrata. 

Riunendo insieme per la base quadrata due di queste pira- 
midi si avrà 1’ ottaedro regolare 
che è un solido racchiuso da 
otto triangoli equilateri tutti fra 
loro eguali. Questo ottaedro si 
può anche ottenere ritagliando 
un cartoncino che abbia la for- 
ma di otto triangoli equilateri 
ed eguali, disposti come nello 
sviluppo qui a sinistra, e riu- 
nendo convenientemente questi triangoli. 






103 

Si ritagli un cartoncino che abbia la forma di un triangolo 
qualsiasi ABC, sui lati del quale si siano costruiti dei rettangoli, 



tutti di eguale altezza Al) =- Ch~ == A R ~ BE' = BG = CH. 
Rialzando poi verticalmente i tre rettangoli 2 3 e 4, in modo 
che AE coincida con AL), BE con BG ecc. si avrà un prisma 
retto a base triangolare. 

Si ritagli un cartoncino che abbia la forma della figura qui 
accanto, composta di 20 triangoli equilateri, tutti eguali fra loro 
disposti così, io in un parallelogramma, 5 a sinistra e altri 5 a 
destra ; solcando leggermente lungo i tratti che appartengono al 


A 



parallelogramma, e piegando poi convenientemente i io triangoli 
contenuti nel parallelogramma in modo che gli orli AB, CD 



combacino, c i 5 triangoli a destra in modo che i vertici EFGH 
e K coincidano, e così gli altri 5 triangoli a sinistra in modo 
che i punti PQRS e T coincidano, si avrà l’icosaedro regolare. 

Costruiamo sopra un cartoncino un pentagono regolare 1 ; 
sopra un lato di esso un altro pentagono regolare 2 eguale al 



primo, e così successivamente sugli altri lati i pentagoni 3, 4, 5, 6. 
Ciò facendo noi avremo costruita la prima metà dello sviluppo 
del dodecaedro regolare ; 1’ altra metà si avrà costruendo di fianco 
a questa il pentagono 7 e quindi tutti gli altri 8, 9, io, 11 e 12. 
Riunendo gli orli dei* pentagoni 2, 3, 4, 5, 6 ; e così facendo 
anche dei cinque pentagoni della seconda metà e ribaltando la 
prima metà sulla seconda si avrà il dodecaedro regolare stesso. 
Dalla figura si vede come dato il pentagono si possono disegnare 
gli altri cinque pentagoni 2, 3, 4, 5, 6, coi prolungamenti dei 
lati e delle diagonali del pentagono 1. 

La retta, il piano e lo spazio illimitati 

133. Le nozioni intuitive e le costruzioni geome- 
triche svolte sin qui sono state tratte da oggetti che 
noi possiamo osservare nel campo esteriore, che è pur 
sempre limitato, anche se noi possiamo estendere que- 
ste osservazioni col mezzo del cannocchiale, col mezzo 
del microscopio o di altri simili istrumenti. Ed anche 



1 °5 


quando abbiamo notata qualche proprietà delle figure, 
come ad es. quella che, a partire da un punto qua- 
hinqtie della retta, possiamo considerare un segmento 
AX eguale ad un segmento dato, abbiamo però subito 
soggiunto che ciò vale limitatamente al campo delle 
nostre osservazioni. 

L’imagine che ci siamo dunque formata della retta 
è quella della retta limitata, per quanto indeterminati 
siano i suoi estremi. 

E così per il piano e per lo spazio. 

Abbiamo poi veduto come si possa dividere un 
segmento dato in un numero n di parti eguali, me- 
diante la costruzione di rette parallele (n. 122); ma 
dalla figura stessa possiamo rilevare che se gli estremi 
del segmento da dividersi sono vicinissimi, allora le 
parallele nella pratica si confondono, in guisa che si 
confondono anche i punti di divisione cogli estremi del 
segmento dato. Per le operazioni pratiche eseguite coi 
punti di tale segmento è indifferente prendere l’uno o 
l’altro estremo, o il segmento stesso come punto. 

Ma nel disegno noi rappresentiamo di solito degli 
oggetti con figure molto più piccole (un esempio di 
ciò lo abbiamo nella fotografia che rappresenta degli 
oggetti con figure piane più piccole). Così una sfera 

S di raggio OA, ad es. di 
100 metri, la possiamo rap- 
presentare con una sfera S' di 
raggio OA' di io metri, in 
modo che ogni parte di cia- 
scun raggio della 5 venga rap- 
presentata in 5 ' da una deci- 
ma parte di esso, come OA' è 
un decimo di OA. Se consi- 
deriamo un trattino XY del segmento OA, esso ci 



appare (o è effettivamente) indivisibile in parti, e se 
supponiamo che esso stia » volte in OA, si avrà 
XY^ (OA) X. 

Ma se noi vogliamo rappresentare la sfera S con 
la sfera S, affinchè la rappresentazione sia completa 
nel modo indicato, bisogna pur ammettere che esista 
la n ma parte di OA' come esiste la n ma parte di OA 
perchè lo studio geometrico della sfera S possa 
farsi senz’altro sulla sfera S". D’altronde la n ma parte 
di OA' è la decima parte di XY, quindi essa non è 
praticamente determinabile ed ha soltanto un ’ esistènza 
ideale. E poiché OA' è parte di OA, così la parte n ma 
di OA' è pur parte di OA, è un sottomultiplo di OA, 
secondo il numero io.». E il ragionamento precedente 
valendo per ogni parte di OA, come vale per XY, si 
conchiude che per la stessa ragione dovremo ammet- 
tere in OA l’esistenza di una parte eguale ad un sot- 
tomultiplo di OA secondo il numero ioo.«, cioè secondo 
il numero io'.»; quindi analogamente si dovrà ammet- 
tere in OA anche la parte aliquota secondo il numero 
io 3 .», poi quella secondo il numero io 4 .»; .... e così 
di seguito. 

Egli è perciò che, se anche praticamente non pos- 
siamo sempre segnare in un segmento dato un punto 
distinto dagli estremi, quando come nel caso del seg- 
mento XY, gli estremi si confondono, pure astratta- 
mente possiamo ammettere che qualunque sia il 
segmento XY con gli estremi distìnti, esiste in 
esso un punto distinto dagli estremi. 

In modo analog'o, se l’ambiente esteriore limitato 
lo rappresentiamo con la sfera S’, possiamo anche 
rappresentarlo in una sfera S che contiene la prece- 
dente. E come vediamo che un oggetto rettilineo A ' I? 



io? 

della sfera S' è contenuto in un altro oggetto rettili- 
neo AB della S, così noi siamo indotti ad ammettere 
che anche il maggior segmento rettilineo che possiamo 
osservare, o di cui conosciamo l’esistenza, sia alla sua 
volta contenuto in un altro segmento cogli estremi 
distinti da quelli del primo. In altre parole possiamo 
ammettere che ogni segmento AB appartenga ad 
un altro segmento CL> con gli estremi distinti da 
A e da B estendendo a CD le proposizioni enun- 
ciate per AB. 

Per quanto la nostra mente non possa arrestarsi 
ai limiti estremi della nostra osservazione anche nello 
spazio fisico, pure la proposizione colla quale si asse- 
risce che ogni segmento appartenga ad un altro con 
gli estremi distinti da quelli del primo non è tratta 
tutta quanta dall’ osservazione pratica: essa ha, per 
così dire, una esistenza ideale, come quella che asse- 
risce che in ogni segmento vi è un punto distinto 
dagli estremi. 

Per tutte queste ragioni stabiliremo che : 

134. Dati più segmenti rettilinei tali che ciascuno 
appartenga ad un altro di essi, avente estremi distinti 
da quelli del primo, e due segmenti qualunque appar- 
tengano essi pure ad un altro dei segmenti dati ; la 
figura formata da tutti questi segmenti chiamasi ancora 
linea retta. 

Segue da ciò : 

La linea retta è illimitata in ognuna delle sue 
direzioni. E infatti se essa fosse limitata da due punti 
A e B essa sarebbe compresa in un altro segmento 
A! B cogli estremi distinti da A e da B, e non sarebbe 
tutta la retta. E se fosse limitata da un solo punto A 
si potrebbe prendere su di essa un segmento AB e 


questo esistendo in un segmento A'B' cogli estremi 
distinti da A e da B , non potrebbe esser limitato dal 
punto A. La retta è dunque illimitata secondo en- 
trambe le sue direzioni. 

Se consideriamo la retta come non data, ma in 
formazione o in costruzione, data essendo la retta limi- 
tata, allora la proprietà che la retta è illimitata si 
esprime dicendo che : La retta può essere prolungata 
indefinitamente in ciascuna delle sue direzioni. 

135. Se poi si considerano tutte le rette del piano 
passanti per un punto come illimitate si ha il piano 
illimitato, il quale chiamasi ancora e semplicemente 

piano, 

136. E se si considerano tutte le rette dello spazio 
passanti per un punto come illimitato, si ha lo spazio 
illimitato, il quale pure chiamasi semplicemente spazio.