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Full text of "Die allgemeinen Jupiter-störungen des planeten Alexandra"

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DIE ALLGEMEINEN JUPITER-STÖRUNGEN 



PLANETEN ALEXANDRA 



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C: A. SCHULTZ-STEINHEIL 



LTTND 1S98 

BEkLIHOaU BormiCEESl- och SriMJJCTEBI-ÄKTtlBOIJkOKT 



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De, 



/er Planet Alexandra (54) wurde im Herbste 1858 in Paris entdeckt. 
Die Berechnungen von Elementen sowie von Opositions-Ephemeriden für Berli- 
ner Jahrbuch wurden in allen Jahren von meinem Vater weiland Prof. H. 
Schultz au^efUhrt; für Evalairung der Störungen war dabei mekanische Qua- 
dratur angewandt worden. Schon während des Siebziger war es die Absicht 
meines Vaters allgemeine Störungen zu berechnen, und als Einleitung publicirte 
er im Jahre 1875 in: Bihang tili Kungl. Sveneka Äiad. Handl. Band 3 N:o 8 
"Kormalorter och oskolerande element för planeten Alexandra (54)", wo 
eine Übersicht der vorher angeführten Rechnungen nebst revidirteu Kormal- 
örtern und die oskulirenden Elemente, welche als Grand der allgemeinen Stör- 
ungen angenommen sind, sich vorfinden. Andere Arbeiten bewirkten doch, 
dass die allgemeine Störungsrechnung erst im Jahre 1889 angefangen wurde, 
und als mein Vater im Anfange des Jahres 1890 nach einer längeren Krank- 
heit starb, war die Rechnung nicht weit fortgerückt. Da mein Vater also nie 
C^elegenheit hatte allgemeine Störungen des Planeten Alexandra, däm er so viel 
Zeit gewidmet hatte, zu berechnen, habe ich es angemessen gefunden 3iese 
Störungsrechnung auszuführen. Zwei Metoden standen mir dabei zur Verfügung. 
Sowohl die Hansen'sche wie die öyld^n'sche hatten beide ihre Vorzüge. Nach 
längerem Sinnen entschloss ich mich die letzte zu wählen, teils weil da keine 
Glieder proportional der Zeit vorkommen, teils weil in Folge der nahen Kom- 
mensurabilität zwischen den mittleren Bewegungen von dem Jupiter und der 
Alexandra die Hansen'sche Teorie, die nach Potenzen der Massen entwickelt, 
keine gute Approximation geben kann. Nachdem ich ziemlich weit in der 
Rechnung gekommen war, fand ich doch dass, wenigstens auf dem Wege, den 
ich eingeschlagen hatte, es fast unmöglich war zu Resultat zu kommen, da 



y Google 



2 

in Folge des grossen Betrages von sowohl Excentricität wie Neigung die 
Reiben sehr schlecht konvergirten und die Arbeit dadurch sehr vergrÖBsert 
wurde; auch andere Umstände machten, dass die Rechnung sehr unsicher aus- 
fiel. Ich beschloss daher diese Arbeit abzubrechen und die Störungen nach 
der Hansen'schen Metode zu evaluiren, um nachher die abgebrochene Deh- 
nung wieder aufzunehmen und eine Metode finden zu suchen mit deren Hülfe 
bessere Konvergenz und sichere Resultate zu erreichen war. Das Resultat, 
welches ich hier liefere, sind die Jupiteratörungen erster Ordnung. 



y Google 



1 

Die Elemente des Planeten Alexandra (System YII) oskuliren für die 
Epoche 1858 Dec. S0,0 Berliner M. Z. 

Mittlere Anomalie ....... c= 521119,7 

Länge dee Perihel» jr=294 16 3,8 1 M. Equ. 

Knotenlänge 9 = 318 49 25,8 > 1858 

Neigung i= 11 46 58,7 jüee. 30,0 

Excenlr. Winkel ?> - 1127 85,7 

Jog der halben grossen Achse lg a = 0.4328648 

M. t*gl. Bid. Bewegung . . . » = 795,62672 
Die Jupitei^lemente für dieselbe Epoche und Oskulationsepoche sind den 
Annalen der Pariser Sternwarte Memoires T. XII Sect. V. entnommen und 
sind dabei nur die sekuläre Störungen und die grosse Ungleichheit in der 
'Rechnung mitgenommen. 

c'=ei° O20'l 
jr' = 12 28 18,71 M. Equ. 
S" = 99 1 44,0 1858 
•' - 118 89,5 JDec. 80,0 
9>'= 2 46 50,8 
lg <!' = 0,7162478 

o' = 299^11815 

Die Jupitera-Masse m' = 

■^ 1047,89 

log/i = log — = 9.5751334 /< = 0,3759529 



y Google 



i bekommt alao: 




/< = 0.8759529 


9/1=8.88358 


ift 0.7619058 


10/1 3.75968 


3/1 1.1278587 


11/1 4.13548 


i/i 1.5038116 


12/1 4.61143 


5/t 1.8797645 


18/1 4.88739 


6/* 2.2557174 


14/1 6.26834 


1/1 2.6816703 


15/1 5.63929 


8/1 3.0076282 


" 16/1 6.01525 


kleinste Divisor kommt beim 


Argument 3-8/1 vor, wo 



3 - 8/i = - 0.0076232. 
Übrigens ist zu bemerken, daes 

l-3/i = - 0.1278587 
2-5/* = + 0.1202355. 
Diese Argumente sind zwar nicht so klein; da sie aber von niedrigem 
Grade sind, haben sie doch eine nicht unbeträchtige Bedeutung. Der nächste 
kleine Divisor kommt beim Argumente 6 — 16u vor. 
6 -16^ = -0.01525. 
Da dies Glied von hohem Grade ist, kann es doch hier nicht sehr merk- 
bar werden. 

In Folge der kleinen Divisoren sind die Koef^ienten zu den folgenden 
Argumenten genauer berechnet: 

- 3/i 1 - 5/i 2 - 8jU 

1-3/* 2 - 5/i 3 - 8/( 

2 - 3/i 3-5/* 4 - 8/t. 



2. 

Die meisten Formeln, die ich im Folgenden angewandt habe, sind ganz 
identisch mit den von Hansen in seiner Abhandlung "Ausereinandersetzung 
etc."*) angegebenen; ich teile sie doch der Vollständigkeit wegen nach und 
nach mit ohne Hansen Jedesmal zu citiren. 



*) AaBereiuanderBBtzuog einer zweckm&ssigen Metode zur Berechnung der absoluten 
Störungen der kleinen Planeten von F. A. Hanaen. 



y Google 



Aua den gleichungen 

sin 1 /sin 1 ( !P+ *) -sin 1(9-9') sin i(i + i') 

sin 1/cosl (»'+ *) - cos I (9 - SO sin i (i - f) 

cosi/sinlcF- lP) = 8mi(9- 9') cosi (! + .■■) 

cos- J cos -■•(!?- 0) = COS-(ä - fl') C08^(i- »') 

n=Jt-a-0; n'-M-^-'T 
bekommt man folgende Werte: 

!P= 21l'3063',25 

«=- 82126,73 

1= 12 62 61,52 

E" 843 48 4,23 

TT - 61 60 86,45 
Als Kontrolle dienen die Gleichungen: 

sin ö> sin i = sin ^Psin ?' 
sin (9 - 6') sin t — ein ^'ein 1 

j ^ CO8l(lf^-0) 

tang - J= tang - {% ~i') 

^ ^ cos^(r-l-d') ■ 

Für die Berechnung von {— | Bind folgende Gleichungen angewandt worden: 

^' A sin Ä"= cos lein IT k, sin K^ = ain JI' 

o = — 

« kcosK^ cos W k^coBKl=coa Igos W 

p sin P = 2 a* ~ - 2 a A cos (E- K) 

p cos P = 2 a C08 q}% sin (JI- Ä,) 

wsin F= 2 acos 9?A8in(7?— Jf) 

i; cos F = 2 a cos (p cos 97'fti cog {JI— K^ 



y Google 



w sin W= p — 2 a'' — sin P 

e 
wj cos TF= u cos (F— P) 

w, sin Wx = v%vo.{V-P) 

«jfcos Tfi = 2 a* — cos P 
e 

f%m{F—P) = wsm(e+ W) — ep 

/ cos (J'-P) = «;,(£+ TF,) 

JI = 1 + a" — 2a' e'* 

yo =Ü — 2e cos s+c' cos^ e + e/coa F 

72 = a'e'' T>=y^ "''ö^» 

wodurch man die Koeffizienten in der Entwickelung von [— ] bekommt. 

Als Resultat dieser Rechnung habe ich folgende "Werte bekommen: 

K= UnbZ^ro log A= 9.9914453 

Ki= 62 26 48,01 log äh = 9.9975837 

loga- 0.2833825 
P= 165 17 48,92 Iogi>= 0.5873595 

V= 2.81 32 56,55 log v = 0.5654597 

W^- 115 29 55,90 log u) = 0.5772319 

Fi =117 50 48,27 log w, - 0.5716320 

log ü = 0.6693560 logy, = 7.9385U2 

Den Umkreis habe ich in 24 gleichen Teilen geteilt und demgemäss /, 
F und D für die Werte von e = 0", 15", 30", 45" etc. berechnet. 

Ehe die verschiedenen Werte von /, F und D berechnet werden, sind 
obenstehende Quantitäte auf zwei verschiedene Wege kontrollirt. 

Erstens habe ich /— | für e = e'= 10" aus der Gleichung 

(:^)" = D -/cos (e' - F) +1?/^ cos 2e' 

evaluirt; zweitens habe ich für dieselben Werte von e und s' die Radii 
Tectores und Anomalia Vera beider Planeten berechnet und aus diesen die 
geradlinigen Koordinaten und endlich J aus der Gleichung 



y Google 



Die Prüfung gab folgende Werte von log — : 

a 

erste Metode lg — = 0.2586152 
a 

zweite Metode lg — = 0.2586153 



. 


log/ 


log JD 


F-e 


logj/B17 


logj/I>-/ 


log D 





0.soos«ü« 


O.S40091S 


28842 8"4fi 


iaB40ii 


0.O999J6S 


0.6400938 


16 


O.Miiim 


O.tibioe» 


2903643,19 







0.OS5648» 


O.«4iioes 


80 


0.s»«8S»s 


0.C.SIS9JS 


29149 2,67 





4197493 


0.010414t 


0.6531931 


45 




0.660I59T 


2922622,84 







9.9950IS9 




60 


O.SI47TflO 


0.689003» 


2928044,is 





4e!7S57 


9.9T9ie41 


0.6690039 


75 




0.6T789H 


292 743,89 







9.96)7876 


0.6778814 


90 


O.sioiSDi 


0.6S6S1&4 


29117 0,09 





4755377 


9.R47D94T 


0.6861414 


106 




0.69444»! 


289 5831,17 







9.9394T01 


0.6944495 


120 


0.6»»« 11 


0.T0101D4 


2881266,31 





48S1B90 




Ü. 7010704 


1S6 




0.70S897B 


286 281,68 







9.89S9S8i 


0.703S9I» 


150 


O.eheiiSB 


0.T084976 


2888136,94 





4913019 




0.7084976 


166 




0.70856.17 


2804686,11 







9.8718181 


0.708561B 


180 


0.6i5IJJfi 


0.7059746 


2776548,99 









0.705974» 


196 


O.fiinoa? 


0.7008111 


276 9 21,87 







9.88J2430 


0.7008111 


210 






27239 1,15 









0.6988871 


226 


o!«isa«94 


o;s-.4asB9 


27038 7, es 







9.9SJ8656 


0.684SS90 


240 


O.SS«3Gt4 




269 21 6,61 







9.9616118 


O.67408S8 


266 


0.S6071T4 


O.seaisfls 


269 216,20 





4191606 


9.9943335 


0.66S71BS 


270 


O.M940S3 




.269 5266,15 







0.0311248 


0.6541343 


286 


O.S0G7S09 


0!S459S26 


2715681,96 







0.0430SSO 


0.641B63S 


800 


U.48I44S8 


0.« 39978.^ 


275 314,40 





1SS67J4 


0.0551951 


0.6J9S78« 


816 


0.4T7S4« 


0.<8«3869 


27848 1,97 







0.0S11693 


0.6361890 


830 


0.477S7T8 




2823714,88 





4S21913 


O.oisirM 


0.6illi70 


Otö 


0.4mwi 


O.SSSSSTS 


286 057,31 







0.0516588 


0.6)61277 



Log D in der letzten Kolumne ist eine Kontrolle der zwei vorletzten, welche 
KontroUe durch folgende Gleichungen berechnet ist: 

Als KontroUe der vorhergehenden Rechnung wird jetzt filr e'=10' und 
für die verschiedenen Werte von e = 0", Ib", 30" etc. /— ) auch nach folgendem 
Formelsysteme berechnet: 

( — I — y'o — /'co9(e — J^') +e' C08 '£ 
/, = jR' — 2 a'e' cos e + a*e'' cos 'e' + ef cos F' 

k' sin K' = cos Jsin II ft*, sin K'i = sin H 

^ cos K' = cos II k,' cos Kl = cos J cos IT 



y Google 



p' ein P' = 2 ^ - 2 a Ä' cos (/?' - K') 
_p' COB P' = 2 a i,' cos ip sin (/?' — Äi') 
v' sin F' = 2 a 4' cos q>' sin (i/' — K') 
v' cmV ^2 a i/ cos q?' cos ^ cos (TT' — Ki") 

w' sin TT' = p' ~ 2 -i sin P' w/ sin Wy = v' sin {V — F) 

w' cos fF' = v' cos ( F' — P) «j/ cos Wi =2 -^ coaP 

e 

/ sin (F - P^ = w' sin (e' + W) - e'p' 

/ C08 (f ' - P') = Wi' cos (£' + W\) 

Folgende Tabelle giebt Kontrolle -Rechnung von log [ — | in Einheiten der 

siebenten Dezimale ausgedrückt. 



- 


K — B 


e 


K-R 


- 


h:— fi 


e 


K-B 


o" 


ff 


90° 


— 4 


1«f 


-1 


m' 







tt 


lOS 


+ 8 


196 




285 




90 


120 


-1 


210 


— 8 


300 


+ 1 




-l 




— S 




V^ 






60 





160 


-2 


240 


390 





76 


— 7 


166 


— 4 


255 


— 1 




+ ft 



3. 

Für die Rechnung ist jetzt die Hauptsache [D— /coB(e' — iO]""' °act 
cos und sin der Multipeln von e — e' Tür « = 1, 3, 5, etc. zu entwickeln. Wenn 
man nur die ersten Potensen der Massen beabsichtigt, genügt es diese Rech- 
nung für « = 1, 3, 5, 7 auszuführen. Diese Rechnung wird mittelst Interpolation 
ausgeführt und basirt sich auf die Entwicklung 



[D-/cos(£'--P)] 



h2 Sarcosi(£'-F) 



wo die Koeffizienten Funktionen der Quantitäten sind, welche in der geschlos- 
senen Funktionsform auf der linken Seite vorkommen. Für die folgende In- 
terpolationsrechnung werden die Koeffizienten in dieser Reihe also nuroeriach 



y Google 



für die vorher angenommenen 24 aliquoten Teile des Umkreises berechnet. Für 
jeden der aliquoten Teile der Periferie sollte man also die KoeiBzienten a'l', 
a'", a'i, ai berechnen; in der folgenden Rechnung sind aber die in Frage ste- 
henden EntwickeluDgen mit gewissen Faktoren multiplizirt, so dase man statt 
dessen bequemer direkt die Koeffizienten ß in diesen Entwickelungen 

„(II 1 m' (1) ^(3) 1 o*m' (3) .(5) 1 a*m' is) o) 1 a*m' v» 

wo tn' die Jupitersmasse ist, berechnet. Diese Rechnung beginnt mit einer in- 
dependenten Berechnung von a,, woraus ß^ • 



" Med(m,K) 
wo m = Yd -\-f und n^^D—f und Med {m,tt) das aritmetrisch-geometrische 
Mittel bedeutet. 



J(f=l(»,+«) 


A'-Ä 


M' = ^(M+N) 


n^Vmn 


M' = ^iM + K) 


w^ynv 



Die Rechnung wird so weit geführt, bis M und N gleich werden, was dann 
Med (m, ff^ ist. 

Diese Rechnung wird kontroilirt durch 

yWf' 1 1 

tang y = _5ij sintp' = tg' - <p; sm ip" =^ ig* ~ q}' etc. 



tu _ 1 l/cos <p' coB^" cmtp'" . . . . 
»B " cos 9> 

Darnach wird fl„*" = -L^^Oo'"; log4^^ = 1.2149282. 
12 sin r ° 12 sm 1" 

Der Unterschied zwischen Rechnung und Kontrolle betrug nie mehr als 
eine Einheit in der siebenten Dezimale von log a/'' 

Die Berechnung der übrigen ß t wird folgendermassen ausgeführt (das 
höchste i wird hier gleich 16 angenommen): 

sin r = 4 



y Google 



tg'lx 38-tg'l^ 8'tg'l^ 35"tg>l;C 

*»"4.16.17' ''•" 4.17.18 ' '■•"4.18.19' '» ~ 4 . 19 . 20 

.1 
2" 



i + n -2 



F^l^-Sf^^sinx wo e'".> 



;i«t. =;,o, Bin. ^ wo ^<-> = il±l:i2 2i-« 
" " ' 4i 4(i -1) 



v(0 = 



: i^<" = e<" sin y 

1 - ^U) j/ID' 1» u * 



So werden alle p'J' berechnet bis j)<J) wonach 

ßii) = jS^<i) . jj,(i). ^jU) p(i; 



£ 


IoK/»'{? 


los/i»,' 


log/l<^> 


log>'' 


l0K/i<V 


log /»^'e' 


log« 


lo« /fV 


0" 


0.<)il>J85g 


O.MS?B»7 


9.8070809 


9.16}>11 


8.987990 


8.Jli5J9 


8.110831 


7.7J1IB 


16 


0.»!.ieiet 


0. 111179« 


9.M«9019 


9.490189 


9 




8 




8 




7.8SJ19 


80 


0.9äITT»» 


0.t>M«98 


9.M74tsa 


9.479M7 


9 


091910 


8 




8 


148004 


7.98S11 


46 


0.>.fȆI99 


O.S3M408 


9.9a«s»e7 


9.S1638^ 


9 




8 




8 




8.11119 


60 


0. »11914 


0.»7iiai» 


9.9«314t4 


9.990387 


9 




8 




8 


181794 


8.11470 


76 


0.MMS8S 


O.lilSDS« 


9.99870I» 


9.841988 


9 


tOSJ47 


8 




8 






90 


0.9si*«a4 


0,417IS1» 


0. 01)1996 


9.t9!3»4 


9 


171104 


9 




8 


799481 


8.41181 


106 


0.9e;43T4 


0.4l9*»a^ 


0.0S74.SiS 


9.741)41 


9 




9 




8 






120 


0.9T099S1 


0.1.U31T3 


0.1000085 


9.78JBÜ7 


9 




9 


II49!I 


8 


940819 


8.S718B 


135 


O.situ» 


0.47.104» 


0.1S909BS 


9.8i897i 


9 




9 




9 




8.78I36 


160 


0.>7i)a>fi 


0.4844790 


0.IMS980 


9. »60801 


9 




9 




9 


076019 


8.8189T 


165 


0.>7<i«eTa 


0.49»0I!4 


0.1«*0409 


9.P7mi 


9 




9 




9 




8.88881 


180 


0.9sofi3a3 


0.491 .1SB9 


O.imoifi 


9.874848 


9 




9 




9 


100T96 


8.8S879 


196 


0.RI91M« 


0.4BIMI9 


0.1441956 


9.84BSS7 


9 


173004 


9 




9 




8.I999S 


210 


O.STSMM 


0.4GI97K 


0.10897*0 




9 




9 




8 


997818 


8.81118 


225 


O.vioiioi 


0.4J97JS1 


O.OS88710 


9.737107 


9 


41. ■,889 


9 




8 




8.919)7 


240 


0.984MS9 




9.9«7i>4e 


9.8M081 


9 




8 




8 


8197M 


8.11H0 


265 


0.9*seMi 


O.»«10»09 


9.9999SS8 


9.sna!S 


9 




8 




8 




8.117*9 


270 


0.9It»BU 




9.8E972}9 


9.448188 


9 


018990 


8 




8 


J8i9J» 


7.9US9 


286 


O.SSMDOt 


0!j940)BS 


9.80SSSJ« 


9.169194 


8 


918919 


8 


J»74SJ 


8 




7.71938 


800 


0.94890M 


0.!7St4«l 


9.781.3044 


9.1091i4 


8 




8 




8 


006808 


7.98981 


815 


0.94SilKl» 


O.JSS.I»)« 


9.74«108> 




8 


83SJ14 


8 


181117 


7 




7.9149« 


380 


0.9494M* 


0.!S4B8iS 


3.T5009-J 


9.i794«a 


8 




8 




7 




7.98S84 


346 


O.BSllKT 


0.»7JI7es 


9.i7wn* 


9.iiKii7 


8 


87SIS9 


8 


444018 


8 


011698 


7.80881 



y Google 



£ 


log/J^l? 


log^V 


log ßfU 


lo« ^l'J 


log^Ji 


log ß^ll 


los ^n 


log^J^ 


log ß^U 


0° 


7.S9A40 


6.9B4SI 


6.14481 


e.u7s 


5.771.1 


5.3873 


6.0040 


4 6319 


4 3407 


15 






7 




6 


7S9ia 


e.ifioi 


5.9»a« 


6.6361 


6.S813 


i 




4 




SO 






7 




6 




6.S6TJ 


6.3179 


5.8701 


6.3334 


6 


1778 


4 


8111 


46 






7 


tJ41* 






S.rflM 


6.4347 


6.1U4S 


6.7756 


6 




5 




60 






7 








6.9141 


6.6S99 


6.396.1 


6.0144 


6 


7019 


6 




75 


8 


0*!SI 


7 


J)l«l 




44SIS 


T.im 


6,8J.18 


6..138i 


6.3433 


5 




6 




90 


8 




7 








7.3084 


7,oa,io 


6.7480 


6.4633 


6 


18)4 


6 




106 


8 


9»a2< 


8 






74*08 


7.4T.17 


7.S0JO 


6.9897 


e.6717 


6 




6 




120 


8 




8 








7.M19 


7.S76» 




6.810» 


6 


SI9S 


6 




135 


8 




8 




8 


OIJJ» 


7.Jfi79 


7.. «47 


i.SiS» 


7.0433 


6 




6 




leo 


8 




8 




8 




7. ms 


7,8JS« 


7.40SO 


7.1713 


6 




6 




165 


8 


62481 


8 




8 




7.933« 


7.89SII 


7.46.1,1 


7.3183 


7 




6 




180 


8 




8 




8 




7.9ia) 


7,881.1 


7.4.190 


7.3316 


6 


9961 


6 




195 


8 


SSSM 


8 




8 


OSSSA 


7. MSI 


7. .1865 


7.3494 


7.1114 


6 




6 




210 


8 




8 




7 




7.e.'i»4 


7.4o.^n 


7.1.1S6 


6.9031 


6 


esis 


6 




225 


8 


JS811 






7 


894as 


7.1184 


7.u4i 


6.8718 


6.6004 


6 




6 




240 


6 






7S6,55 


7 




7.1S09 


6.8907 


6.. 1390 






8380 


5 


6134 


265 










7 


iaoA4 


6.7*98 


G.460S 


6.1893 


6.8065 






6 




270 










6 




6.4.1T4 


6.09M 


fi.7413 


5.88.10 




0398 


4 


67S6 


285 




isioo 






6 


5S1J4 


6.1S4« 


6.7797 


5. »961 


6.0110 






4 




BOO 






6 




6 




6.9M9 


5.S491 


6.1467 






S4S4 


8 




916 






6 




6 


£««98 


6.8SS4 


5.439.1 


6.0381 


4.6178 




aOB7 


S 




^0 






6 


«BJja 


6 




5.8889 


6.417» 


5.041.1 








8 




316 




19B0T 


6 


79043 


6 


S8SJ0 


5.9822 




5.1809 


4.7831 




1844 


8 


BB77 



Alle jetzt berechneten ß sind Koeffizienten in der Beihe 

—-J^, [D-/C08 {e'-F)]-'/> =^,a>+ 2 ß^m cos (e'- F) + 2^/' cob 2 (c'~if)+. .. . 

Setzt man hier s' — F=0, bo muss die Gleichung 

i^, [B -/]-•/. -(^^■> + 2/S<« + 2^;. + .,.)-0 

nahe eatisfiirt sein, welche Gleichunjf ich als Kontrolle angewandt habe; 

Die Abweichung von Null ist hier unten in Einheiten der fßnflen Dezi- 
male angegeben. 



• 


Ab«). 


- 


Alm. 


« 


Abv>, 


«■ 


Abw. 


0* 




hl 


90° 


+ 18 


180° 




1-179 


270* 




15 




1 


106 


+ 33 


195 


■ 


■ V^Ji 


285 





80 




1 


120 


+ 60 


210 


■ 


. m 


800 


+ 2 


45 




H 


133 


+ 101 


225 




■ 'jn 


815 





60 




fi 


150 


-l-ltö 


2m 




■ 9 


^0 





75 


-1 


l-tf 


165 


Tl82 


266 




h ü 


M6 


+ 1 



Alle ^" von ß^^ bis ^j» werden auch KontroUirt, wenn man nor ß<^^ 
prüft. Dies wird mit folgenden Formeln ausgeführt: 

,.1 
1 »i' 1.3. 5. ...31 * i'' 



£=, 



128inr'2.4.6..:.32(ücos//t 



y Google 



ßi^^ = E j 1 - [8.468521] Ö + [7.56543] G» - [6.9065] G^ + . 



G = - 



2 eoax 

Differen/. RechDung— Kontrolle von log^" ist hier unten in Einheiten der 
siebenten Dezimale angegeben. 



. 


E-K 


e 


R-K 


G 


B-K 


^ 


S-K 


0° 


+ u 


90' 


+ 17 


180° 


+ 26 
+ 12 


270° 


+ 6 




-10 
-- 2 


106 


-16 


195 






80 


120 


— 3 


210 


- 8 


300 


— 1 








+ 22 
124 




— 1 






60 





150 


240 


+ 13 

;i6 


380 


+ 9 


75 


-11 


166 


-U 


256 


S46 


las 



Nach dem *alle ^^'> berechnet sind, werden ß^^ durch eine independente 
Rechnung evaluirt, indem wir dochjff'" aus dem Vorigen als belcannt voraussetzen; 
zu dem Zwecke haben wir ein Formelsystem dem vorigen analog: 



8ec",;|r 



?,.(! - 



■J-f,,'',, 



64.17' 2" 



Cr* _ 



*»■" tg-U 



>>fi'U; «, 



'• 4 . 17 . 18 
37.88 



4:i8.19 "° 2"' ■• 4.19.20 
jro) = ff») sin y p<*' = f^*> . )/"> 

1 



. . 1 



,l"i-^;'.8in'^ 



1 -•*',".' n? 

pm^aaiainx y|;' - F« . y|;i etc. 
So werden successive alle p?) berechnet bis i)'*> 



».._o-.- 



/JO) <. ^S' . ^«31 . p(3) J)l« 



y Google 



e 


iogß^' 


iosß'V 


loK/Jl' loE/i 


1' iogß'f 


iogß'l' 




og^"?' IoK^<i' 


0° 


l.iseisM 


O.sofisis» 


O.SJsaoia O.aisa 


69 9. »995368 


9.6711571 


9 


3367»63 8.9990409 


15 






0.!>4IMBi 


O.ST7ti93 0.as87 


13 0.0967385 


9.7761893 


9 


4197281 9 




30 




leeijjs 


0.97JS4»7 


O.raoiktae 0.4S9a 


69 0.1759668 


9.9831931 


9 


18521»a 9 


3916870 


46 








O.Ts3sa99 O.sase 


33 0.2619983 


9.9970ä98 


9 


7063999 9 




60 




JOSstU 


1.047aiS! 


0.98!2aa7 O.J94fi 


7H 0.9149976 


0.0917967 


9 


821181.'^ 9 


1591711 


75 








0.981SJ10 U.9590 


07 0.121I7S3 


0.1813118 


9 


9399499 9 




90 




3MD9»9 


liinaoa« 


U.9I11S3g Ü.7a33 


31 0.5014191 


0.17.1591» 





0492170 9 


8017551 


106 






I.ISMIOS 


0.9931137 0.7999 


79 0.5894179 


0.3689631 





1100140 9 




120 




sioiaji 


l.lBlOSli 


1.03J099S O.a.'.iio 




0.1191305 





1111606 




1% 






1.SS1I79» 


1.09077« 0.9107 


36 0.7291198 


0.5405041 





1464481 




160 




seiiiia 


1.S6Ü44S 


1.1194i» 0.99TS 


93 0.7945771 


0.6011969 





4188204 


3394891 


165 








1.1417399 0.9940 


Ol 0.915111» 


0.S19109T 


ü 


4581358 




180 






i.sMint» 


l.I40t9S1 0.9916 


12 0.9118911 


0.6119307 





4.^28243 




196 








1.1106973 0.9*49 


41 0.7679119 


0.. 1816311 





1911053 




210 






l.iUMM 


1.0»l*9iS 0.97*1 




0.485O351 





9811119 




226 




ieasssT 


1.1SS1I4» 


0.9713740 0.7J5S 


95 0.5614301 


0.345 7981 





121.1569 9 


9913269 


240 






l.D8ai47J 


0.8819797 0.65801)9 0.4318777 


0.1776970 


9 


9279907 9 




266 




1ST8B7* 


1.0ia7S77 


C.78S3711 0.5336 


79 0.3691497 


9.9963336 


9 


7177151 9 


1319029 


270 






O.ssossii 


0. 6917161 0.4147 


61 0.1314867 


9.8197111 


9 


1130399 9 




285 




i»06i7a 


O.89990S7 


0.6191471 0.3143 


13 9:9954914 




9 


1311779 8 


9966165 


90O 






0.«6EiOM 


0.5677971 0.S441 


95 9.907778J 


9:5606011 


9 


1091900 8 




815 






0.8il9m 


0.5419771 0.91» 


IS 9.B6699S» 


9.5111592 


9 


11996 73 8 


7E41116 


880 






0.SJ6MIB 


0.5509911 0.919» 


84 9.S7S0479 


9.5911311 


9 


1615531 8 




816 




111614» 


O.eieGm 


O.SMSiÄO 0,aS9SOOO 9.9M9746 


9.5801071 


9 


9306998 8 


9764640 


e 


log^'f 


log^'i' 


iogß^^ log^;? 


iogß^ iog/Jll loe/i 


13) 


■og^'it' log^l? 


0° 


8 fi5SB£ia 


8.jni46 


7.96191» 7.9.5513 


7.161319 6 


91161 6.56 


96 


6.10778 6.81116 


16 


8 




8.ia79M 


8 


Lsgoi» 7 




7 


496131 7 


16168 6 


es 


la 


G 


19163 6 


11629 


80 


8 




e.üGsa^s 


8 


357761 8 




7 


711590 7 


11650 7 




6 


76331 6 




46 


9 






8 


519194 8 




7 


919307 7 


66069 7 




. 7 


06191 6 


76261 


60 


9 




9.Do7aos 


8 


731008 8 




8 


171199 7 


89I7J 7 






7 


33831 7 




76 


9 


11*19 S.1 


9.ifiso3o 


8 


905398 8 




8 




11504 7 


91 


15 


7 


59134 7 


11170 


90 


9 




i^.aaioos 


9 


OIS997 8 




8 


580649 8 








7 


639G1 7 




106 


9 




9.473496 


9 


311913 9 




8 


775999 8 


Tnol 9 


30 


06 


8 


06930 7 




130 


9 




9.eifia37 


9 


a»937S 9 




8 


960119 8 


71909 8 






8 


39313 8 




185 


9 




9. 74*016 


9 


5S96$8 9 




9 


121189 8 


»1156 8 




90 


8 


19134 8 




IGO 







9.«4i4sa 


9 


611749 9 




9 


947717 9 


01696 8 






8 


31313 8 




166 





Osmil 


9.19^971 


9 






9 


313991 9 


11719 8 






8 


-1197 8 


11177 


180 







9.9SSGII 


9 


693116 9 




9 


101119 9 


loiio 8 


90 




8 


70691 8 


S0669 


196 





004191« 


9.90S418 


9 


6U4619 9 




9 


199339 8 


99339 8 






8 


59033 S 




210 


9 




9.S49837 


9 


434671 9 


917863 


8 


9»»650 8 


78034 8 


51 




8 


33911 8 


11616 


226 


9 




9.428110 


9 






8 


71S660 8 


47545 8 






7 


99100 7 




240 


9 




9.mo47 


8 


89116» 8 




8 


366940 8 


10067 7 




41 


7 


56539 7 


21617 


266 


9 




8. «MOS« 


8 








»89713 8 


66750 7 






7 


09399 6 




270 


8 




8.SSMS« 


8 








(01500 8 


97691 6 




91 


6 


62159 6 


»»711 


286 


8 






^ 








199175 6 








6 


11319 6 




800 


8 


4»1««B7 


8.i9B»69 


7 


761U98 7 






09994» 6 


61960 6 




94 


6 


91773 6 




816 


8 






7 








»K84» 6 


53816 6 






5 


77838 6 


19690 


880 


8 


4S»fl»GT 


8.oa9i9S 


7 








9MS78 6 


51989 6 




6« 


5 


10114 6 




346 


8 


aisstfli 


8.iassii 


7 


J9S101 7 


431961 




0S919O 6 


69910 6 


13097 


6 


9819» 


5 


1»1»6 



Als Kontrolle dieser Rechnung bekommt man analog wie fiir ß'^i 

-14^, [Z) -/]-•/. - [y5j« + 2/J;» + 2^« + . . . .] = 
Izsin 1 1 9 



y Google 



u 



Die Abweichungen- sind in Einheiten der vierten Dezimale angegeben. 



• 


Mw. 


• 


Atw. 


e 


Abu. 


« 


Äbw. 


0° 


ti 


90° 


+ 94 


180° 


+ 1061 


270° 








+ 188 


196 




760 


286 


+ I 


80 




120 




210 






300 




46 


-12 


136 


-- 596 


225 




. 147 






60 


--23 


150 


-■ 908 


240 




4« 


880 












266 


H 


F 12 


846 


+ 1 



Die ftlr die Kontrolle von ß'^J angewandte Reihe konvergirt für y?*») schlecht 
und die Berechnung ist daher müheam und wenig anwendbar. Ale zweite 
Kontrolle können wir die Koefficienten y?"> von i = 1 bis i=lb aus den oben 
berechneten yS^" evaluiren gemäss der Formel: 

' 4a i + 

Die ao gefundenen log ^" differiren von den TOrher berechneten nie mehr 
als mit ein paar Einheiten in der siebenten Dezimale. 

Die y?"' werden folgendermassen berechnet. Erst evaluirt man ß*" und y3"> 
aus den folgenden Gleichungen: 



und dann die übrigen ß^^^ aus: 

ß« = ßl'>-'l^'i 



ff'-^'/.ff' 

ß" - '/> ß'" 



•^-, 



i«s^'5 



'»8^1 



t'fß'l 



t'Sßl 







:i;E 















89719S 
















sssiea 
















99691« 








s»ai3t 


.9137H 





.3U991 
.391i3t 



log/»",' 








O.ISiGBU 


(t 


tl 




O.süosia 


(1 


11 




0.4*0362 


n 


11 




0. 57. ■.646 


(1 


(1 




0.7O9SS« 


l> 




Qle4t)S 


O-Ritm 


11 






0.»SI4i 







ÜS64; 


1.0847« 


(1 






1.10K7II 


1 






l.miM 


1 






lAlilS» 


1 




J»«I6 


1.4SÜIS 


1 



y Google 



£ 


>o« ^=o' 


log yS-« 


iogß%> log/i'g> log ^6» ,0g ^|. 


log ^6 


log ^»V 


180° 


2.011081 


1.987371 


1.93063» 1.83 


7.M 1. 


16631 1 


191995 


1.416989 


1.SU764 


196 


1.S770SS 




1.873991 1.77 








1.181414 


1.335351 


210 


1.901014 


1.8SMSÜ 


1.784810 1.67 






403968 


1.348308 


1.U84T17 


226 


l.soostt 


1.7i7298 










1.05651t 


0.871838 


24D 




1.637044 


1.Ü6431 1.38 




311930 1 


03«465 


0.828654 


0.631277 


266 


l.JMOM 


1.S188S1 


1.387807 1.31 




018791 




0.186178 


0.S1US6 


270 




1.414143 


1.381883 1.06 


589 


S16SS5 


«ÖJ377 


0.11434J 




286 


l.«S»ll 


1.1330«! 


1.160418 0.941615 


698981 




0.11J173 


9.868921 


900 




l.asojso 


1.093T14 0.85 


111 


S97336 


81i.Wl 


0.O19S80 


9.7128)3 


316, 


l.sseoTS 


1.358480 




310 


111833 




9.956911 


9.641391 


390 




1.3SS9S0 


1.073149 0.833171 


J68001 


17406S 


9.970738 


9.616680 


8« 


1.198)07 


1.337133 


1.111163 0.38 


»93 


630440 


»11044 


0.047446 


9.748061 


e 


log ^1' 


log^|> 


log^^ log/j'K 


log^g 


log ^3 


log ^h 


log^g 


log ^S 


0* 


9.iJ77tl 


9.113160 


8 9S13« 8.64BB3 


8.31010 


8.0O847 


7.68388 


7.S5691 


7 03438 


16 


9.74RM6 


9.4«aiia 


9 






8 




8.16817 


7.96113 


7.61138 


7 




90 




9.SJS!38 


9 


SBIOS 9 


10310 


8 




8.13167 


8.34497 




7 


61»71 


46 


0.098160 


9.S118US 


9 


.S8493 9 




9 






8.11839 


8.34440 


7 




60 


0.S9M»» 


0.013174 


9 


77931 9 


13433 


9 




9.03355 


8.77866 




8 


36118 


76 


O.iiju» 


0.1933311 


9 


96718 9 




9 




9.16831 


9.03611 


8.T8711 


8 




90 


ti.ieuM 


0.163391 





15210 9 


91764 


9 




9.43833 


9.37418 


9.04769 


8 


81904 


106 


0.7aiTS5 


0.5806.^6 





33464 




9 


93063 


9.71170 


9.51404 


9.8019» 


9 




120 


0.B7UU 


0.S9S087 





11018 









9.91833 


9.74360 


9.54S93 


9 


84110 


136 


1.006446 


0.939511 





66783 









0.1107« 


9.94592 


9.75878 


9 




160 


1.113741 


0.3.S4110 





79081 









0.37933 


0.10391 


9.9S48I 


9 


74871 


166 


l.i7im 


1.01S9SS 












13867 


0.SJ91B 


0.18710 


0.01881 


9 




leo 


l.imj4 


1.O08477 





84845 









0.34677 


0.US83 


9.998.SH 


9 


82124 


196 


1.07eS97 


0.915740 







5773» 





»0253 


0.33494 


0.044J1 


9.86188 


9 


«J716 


210 


0.914349 


0.737991 





5J691 













9.60D01 


9 


10106 


225 


O.SM4i7 


0.487363 





26610 




9 


87171 


9.6191« 




9.237S1 


9 


0078» 


240 


0.40<S80 


0;i8S071 


9 






9 




9.31187 


9.01138 


8.77343 


8 


11711 


266 


0.10*47* 


9.B.1M18 


9 


60438 9 


14504 


9 




8.81163 




8.37461 


8 


0004» 


270 


9.8I9<U 


9.111^54 


9 






8 




8.18367 


8.08411 


7.7S8BS 


7 




286 




9.368S1S 


8 


9)94» 8 


64518 


8 




8.00410 


7.68185 


7. »4391 


7 


03674 


800 


9.197J8S 


9.07iS33 


8 






8 




7.11813 


7.54181 


7.04771 


7 


17480 


816 


9.»nuä 


8.98S199 


6 


64981 e 


10846 


7 




7.61411 


7.3S116 


6.90661 


6 


11896 


^0 


9.m93a 


9.0041SS 


8 






7 




7.61646 


7,29064 


6.9366» 


6 




346 


9.410316 


9.11DS43 


8 


7853« g 


41536 


8 


13138 


7.Tei80 


7.44141 


7.1000» 


G 


71191 



Ale Kontrolle der /?"> hade ich äie ß^'> aus folgender Gleichung berechnet: 

Diese Formel giebt nur eine Kontrolle unter der Bedingui^, dasB y9<" und 
ß'^'> auf andere Weise Kontrollirt ist. 

Die ß'''^ sind nämlich aus folgender Formel berechnet: 

and wenn wir annehmen, dass B ß*-*^ fehlerftei ist, so bewirkt ein Fehler in 
/!t»i_ einen gleich grossen in ß^^'* , die Differenz y?*»^ — ß-'']. ist also fehler- 
frei und obwohl beliebig grosse, gleiche Fehler in sowohl ß^*)_ wie in >3J*|, 
vorkommen, stimmt doch die Kontrolle ^<'' mit der vorher berechneten. Um 
die ^" und ^0 zu kontroUiren ist folgende Oleichut^ angewandt: 
Bß^»-fß^» = a^ß'*-> 



y Google 



16 

Die Übereinstimmung dieser Kontrollen mit der vorigen Rechnung war 
vollständig. 

Die /f<" wurden aus Formeln, denen analog, vermittelst welchen ß*" eval- 
uirt sind, berechnet. 



ft"+Ä"-=- 



D-f 



^') -^'Tl 






i>+/ 



e 


log^' log^' 


log^a" log/?!' ""8'»^' l"«^ l°K^6 


>og^ 


0° 


l.s'na: 1 


J0S09 


l.a«»04 0.»i}58 0. 73.101 0.51867 0.S84}1 


O.0141! 


16 


l.sms 1 


I840J 


1.179Se l.OSäJB Ü.8S486 0,65489 0.4J61i 


0.30491 


30 


1.40749 1 




1.57581 l.USOO 0.97B09 O.I94Je 0. 598.18 


0.17749 


45 


1.4mi 1 


.4559.^ 


1.17160 l.SiOIS I.IOIM 0.9)140 0.74511 


0.44613 


60 


1.5TISI 1 




1.4«645 l.».«»« l.SJOJi 1.064S6 0.89S8» 


0.70869 


76 


1.GSS3U ] 


.eaosi 




0.86805 


90 


1.746B7 1 




1.66940 1.57118 1.46045 1.12979 1.18465 




106 


1.B4417 1 


.63406 


1.76980 1.688.^8 1.58618 1.46700 l.smi 


1.190» 


120 


1.MS74 1 




1.67941 1.80611 1.71311 1.6043» 1.48»60 


1.14018 


136 


2.01437 2 




1.99449 1.91778 1.8SJ65 1.71i5S l.«»«a7 


1.49778 


160 


2.13657 2 




2.07146 2.0095» 1.93011 l.al647 1.71104 


1.11581 


166 


2. USUS 2 




2.11313 2.06967 1.98617 l.m7S 1.79195 


1.61331 


180 


2.1J24S 2 


.ISBS« 


2.II911 2.03900 1.98181 1.89064 1.76793 


1.67549 


196 


2.10S6T 2 






1.31314 


210 


l.»Bioa 1 




1.93.178 1.85359 1.76187 1.654.M 1.33414 


1.40167 


226 


l.F>3S4A 1 




1.75S78 1.67131 1.56iSl 1.44190 1.30471 


1.15619 


240 


1.6J96S 1 


.SSS46 


1.5649! 1.46437 1.11931 1.19531 1.03611 


0.86901 


266 






1.17553 l.SSJil 1.10811 0.94014 0.7S616 


0.55898 


270 


l!s4610 ] 


»047» 


1.S0S5» 1.06587 0.89416 0.70»A 0,19S34 


0.1613S 


286 


1.3»3i 1 




1.07384 0.913O6 Ö.ill« 0.50468 0.37301 


0.01196 


900 


1.1SS14 1 




0.98405 0.81091 0.60134 0.J7101 0.13010 


9.6J44J 


816 






0.94B05 0.76693 0.51164 O.IIIM O.OäUS 


9.71808 


880 


liusss ] 




0.93951 0.11948 0.56419 0.11S16 0.06854 




846 


l.iemo 1 


13.07 


1.D1044 0^81818 0.61356 0.403.13 0.19181 


9.99055 


e 


log^' 


log/5^ 


logMS 'OS/^I* l'>K/ȧ' '"kM? 


log ^S 


0* 


9.;i497 


9.^0478 


9.S1690 8.94137 8.6506 8.3916 


8.0496 


15 




9.7IT80 


9.M7ti 9 


17974 8 


9064 8.6379 


8.1441 


SO 


O.i.tioi 


9.91i94 


9.61330 9 


43147 9 




8.6180 


46 


O.sseia 


0.117SS 


9.89147 9 


65874 9 


4310 9.1777 


8.9117 


60 


O.S1414 


O.IIll) 


0.10081 9 


■8413 9 


6031 9.4146 


9.3044 


76 


O.sMo» 


0.499J8 


0.S0401 


10335 9 


8931 9.6911 




90 


O.gMoe 


0.88777 


0.5064U 


11918 


1169 9.9101 


9.;i8» 


106 




0.8JSS5 


0.70847 


51531 


1465 O.1740 




120 




l.oeojo 


0.90506 


74431 


4785 0.4084 


0.1144 


186 




l.fjfis 


1.08378 


91369 


7789 0.6197 


0.4469 


160 




1.I«I7I 


1.S3494 1 


08397 


9163 0.78S4 


0.6107 


166 




1.4Sm 


l.SOlll 1 


16419 1 


0119 0.6761 


0.7161 


180 


1.SH9S 


1.4mi 


1.39177 1 


15479 1 


Olli 0.6611- 


0.7138 


195 




1.130M 


1.18044 1 


01463 


8841 0.7195 


0.4713 


210 




1.1170« 


0.96145 


80447 


6401 0.4711 


0.1996 


226 


o'.mu 


0.«3!61 


0.6.1991 


48179 


1980 0.1107 


9.9180 


240 


0.68J6S 


0.494S» 


0.39761 


09471 9 


»869 9.6719 


9.437» 


266 


U.7S117 


0.1I4&1 


9.91049 9 


68005 9 


4444 9.303» 


8.9399 


270 


O.oiJi« ~ 


9.7886» 


9. »660 9 


37718 9 


0110 8.7*10 


8.4678 


286 


9.J64M 


9.4950» 


9.S1871 8 


9t»95 8 


6477 8.1417 




300 


9.S7701 


9.t8m 


8.99434 8 


69115 8 




7.7500 


316 


9.19-iM 


9.1962» 


8.89594 8 


48115 8 


3714 7.9415 


7.6468 


890 


9..wiia 


g.ii6ss 


8.91436 8 


60366 8 


1953 7.9461 




846 


9.613» 




9.017S4 8 


73814 8 


4107 8.1331 


7.79B8 



y Google 



Die Kontrolle ergab sieh aus folgenden Gleichungen: 
ßi» = Ißt-» ^ 80) ] ¥ 

' I L' f_i '^1 + 1^ 4( 



4. 

Durch Berechnung der ß sind die Koeffizienten der folgenden Reihen be- 
stimmt; 

jL^^ [Z)-/cos (e'-i^)]-'/. =;?<'>+ 2yS'» cos (e'-F) + 2/?»» cos 2 (e' -i^) +.... 
12 sin 1 Ol s 

JL "'"*'„ [Z)-/eos (e'- JF)]-'/. =/J(" + 2/3»" c08(c'- J") + 2ß('> cos 2 (e'-f ) +.... 
ISsinl " ' * 

L^*!^[D-/cos{e'-F)]-'U=ßw + 2ßwcos(e'-F) + ^ßi"co&2(E-~F) + ..., 
1 2 sin 1 Ol 3 

J_ 4^ [i? -/ cos (e' - F)]-'/> = /3('> + 2)?"" cos (e' - J^ + 2/3"> cos 2 (e' - F) + . . . . 
12 sin 1 Ol > 

Die Reihen sollen jetzt so umgeändert werden, dass sie nach Multipeln 
von e — s' fortlaufen. Wenn man eine beliebige dieser Reihen mit — j4~'/» 

bezeichnet, ist 

j-'U = i'i-> + 2^T\''l cos I (e - e') - 2Zl'*;i sin i (e - e') 



Y\'l - 12i3j"* cos i (F- e) = i C^-' +SCv.< ^^ ^^ + ^"^v".' ^in ve 
y<;; = 12^J"' sin i(F-e) = ~ C'J + Sc;-; cos ve + Zs;* sin vc 

Diese c und £ Koeffizienten werden fo^endermassen bestimmt; schreibt man 
eine beliebige dieser Reihen fUr ein beliebiges n und t für c oder s einfach 



+ 8, ein £ + Sj sin 2e + s» sin 3c + 

und berechnet man dieses F für die 24 verschieden Werte vone = 0*', !&", 30* etc., 
bekommt man daraus 24 Reiben mit den linken Seiten Bumerisch bestimmt 



y Google 



18 

und kann aus diesen Gleichungen 24 der Koeff. c und s bestimmen. Bezeich- 
net man Y für 6 = 0" mit Koj für £ = 15° mit Y^ etc. und endlich Y für 
£ = 345° rait Fu, 80 bekommt man folgendes für jedes ^l'*? geltendes For- 
melsyst«m : 



'- (c. + 2c„) = (0.6) + (2.8) + (4.10) 



2^ 



|Cc.-2c„) = (1.7) + (3.9) + (5.11) '- 

1 



^ (c. + <•,.) - (0/6) + i [(2/8) - (4/10)]. I (c. + c.) = i. - 2i. 

5 (c. - i!») = [(1/7) - (5/1 1)] 008 30 I (o. - c.) = i, - i, - (i, 

I (». + <•.) - (0.6)- i [(2.8) + (4.10)1 I (c, + c,) = *. - i. + i. 

I (c. - c.) - 1 [(1.7) + (5.1 1)] - (3.9) 1 (f, - c) = i, - 4, + J, 

<', = (0/6) - (2/8) + (*/10) I (», + s„) = o, + o, + a, 

i(». + Si.) = |[(l/7).+(5/ll)]+(3/9) 5 (»,-%) = (.. +<!.+<., 



2 (s» + «b) = a, + (1 



i (s, - »,.) - [(2/8) + (4/10)] cos 30 

i(». + s.) -[(1.7) -(5.11)] cos 30 i(». -s.) = 2a, -a. 

5 (8. - s.) - [(2.8) - (4.10)] cos 30 i («> + «,) = a, - a, + a, 

s. = ( 1/7) - (3/9) + (6/1 1) i (J. -«,) = ".+".- ». 



«,-(6/18) o, = (3.9) cos 45 i. -(0/12) J. = (8/9) cos 45 

a, =(1.11) 00« 15 o, - (4.8) cos 30 J, =(1/11) cos 15 ,6,-1(4/8) 

a, = (1.11) cos 45 a, = (6.7) cos 15 S, -(1/11) cos 45 6, = (.6/7) cos 16 

a, = (1.11) cos 76 a, = (5.7) cos 46 6, = (1/11) cos 75 S, = (5/7) cos 46 

a. = i(2.10) a, - (5.7) cos 76 S. - (2/10) cos 30 J, = (5/7) cos 75 

und überdies folgende Bezeichungen eingeführt sind; 



y Google 



19 



12 



(F, -f r,. „) = (*.* +121; 



(n-r.*..)»W4 + i2) 



12' 

(*.t+12| +(«: + 6.4 +18) = («:.* + 61; (*/* + 12) + (12-i;24-t)~(J;.12-i) 

(k.k + 12) - (i+ 6.i + 18) - (i/t + 6); («i+ 12) - (12 -«■/24- i) = (tfl2-Ä-) 

Folgendes Rechenachema macht die Rechnung übereichtlich und bequem: 





Jt-0 


1 


2 


3 


4 


5 


Yt 


y. 


r, 


r, 


r, 


r. 


r, 


{k.h+tij 


3^1. 


r„ 


y^i. 


y.. 


>'.. 


y.- 


(0.12) 


(1.13) 


(2-141 


(3.16) 


(4,16) 


(6.17) 


(i-/t + 12) 


(0.12) 


(1/13) 


(2/14) 


(3/15) 


(4/16) 


(6/17) 


n-H 


r. 


Y, 


y> 


r. 


y.. 


1'.. 


(i + 6/i-l-18) 


Y„ 


Y„ 


Y,, 


i',. 


y„ 


r« 


(6.18) 
(6/18) 


(7.19) 
(7/19) 


(8.20| 
(8/20) 


(9.21) 
(9/21) 


(10.22) 
(10,-22) 


(11.23) 
(11/23) 




(0.6) 
(0/6) 


(1-7) 
(1/7) 


(2S) 
(2/8) 


(3,9) 
(3/9) 


(4.10) 
(4/10) 


(5.11) 
(6/11) 


(t.l2— *) 

(t/12-i) 


(0.12) 
(0/12) 


a.ll) 
(l/U) 


(2.10) 
(2/10) 


(3.9) 
(3/9) 


(4.8) 
(4/8) 


(5.7) 
(6/7) 


«i 




"i 


o, 


n. 


"4 


(1, 


"64-1 


«. 


a, 


0. 


". 






h 


^ 


6, 


K 


&. 


K 


6. 


»^ 


6. 


6, 


6, 


6, 







Nachdem diese Quantitäten berechnet sind, sind die c und i 
evaluiren, was alles sehr rasch mit Rechenmaschine vor sich geht. 
Die c und s Koeffizienten bekommen folgende "Werte: 



leicht ! 









yd) 










i-0 


. = 1 


1-2 


■ -.3 


• ~4 


t-B 


»■-6 


t-7 


«. 


+220.M841 


- -12.0I91B 


— 20.S4nJ 


-6.56J81 


+2 »OS08 


+ 1,«72SI 


— O.SDll 


-0.4383« 




— S.«B78 


-- l.sesos 


+ 5.U60 


+O.S8SS8 


—1 




-0,S7887 


+0 




+0 




c» 


+ 0.989S» 


-- 0.1SI«4 


- J,14»« 


-0.1589« 


+0 


70300 


+0.19707 


-0 


38580 


—0 


14)07 




- 0.13728 


— O.ossss 


+ 0.3108 


+0.07S7, 


-0 




-0,07038 


+0 




+0 






+ 0.0JO61 


+ 0.00730 


— 0,038» 


-0.0.959 


+0 




+0.0398» 


-0 


OSGOl 


-0 


030»» 




- 0.00KI9 


- O.ouus 


4- 0.00.10 


+O.OOS0» 


-0 




-0.00696 


+0 




+0 


oojoo 




4- O.ooosi 


+ 0.0O03S 


- 0,0008 


-0.00100 


+0 




+0.0018« 


— 


0019! 


-0 


00311 




~ O.oooiä 


— O.ODOoa 


+ 0.0001 


+ 0.OD031 


-0 




—0.0004) 


+0 


00036 


+0 


0001» 




+ O.üuoos 


+ 0.00001 


- 0.0000 


-0.00004 


+0 




+0,00009 


-0 




—0 




Ol 


- O.ooooj 


— O.DOOOl 


4- 0.0000 


+ 0.00001 


-0 




-0.00003 


+0 




+0 


00004 


Cit 


4- O.oüoai 


0.00000 


3 0.0000 


^0.00000 


+0 




0.00000 







-0 






- 0.00003 


O.OOQDO 


4- O.oooo 


+0.00001 


-0 




O.MOOO 










00000 




+ 0.00001 


O.ooQOa 


~ 0.0000 


0.00000 







0.00000 














-. l.SMiS 


+ 5.78741 


— 0.8379 




-0 




+O.806>0 


+0 




-0 




«. 


- - 0.tit07 


— O.seisi 


- 0.3338 


+0,7ia73 


+0 




-0.41)89 


-0 




+0 




s> 


-. O.OlHi 


+ 0.0719. 


+ 0.08SS 


— 0,197SS 


-0 




+ 0.1190S 


+0 




-0 






-- 0-oms 


— 0.00B7B 


- 0.017« 


+0.0S.6S 


+0 




-0.040)3 


-0 




+0 






~ 0.00181 


+ 0.001« 


+ 0.0O14 


— 0.00M9 


-0 




+0,00878 


+0 




—0 


007)5 




+ O.ooois 


— O.OOD!« 


— 0.0007 


+0.0008« 


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-0,00166 


-0 




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— 0.00009 


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+ O.oooi 


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+ 0,0000 


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+O.OB001 


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i-16 


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+0.0966J +0.01M7 -0.O196S -0. 


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0377. io. 


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6 +0.0013 


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0119 +O.00S8» +0.00» 


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0S6I9 +0.oiars +0 


oisio —0. 


0166 -0, 06117 — O.OOI 


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OIMS -0.00794 -0 


00»)S +0.0019» +0.0016= +0,000 


S -0.0019 


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00S81 +0.00SSS +0 


0040.1 -0. 


0114 -O.oo»as +0,000 


1 +0.0011 


+0 






+0 




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00199 -0.OOU2 -0 


ooi.is +0. 


0049 +0.00103 —0.000 


-O.oooi 


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0008» +0.OO0S1 +0 


00OS4 -0. 


0016 —0.00040 +0.00004 +0.00034 


+0 






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00019 -O.OOOOT -0 


00017 +0.0000* +0.00014 -0,0000 


1 -O.oooio 


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+0.00004 


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ooooi o.ooooo -0 


00003 0.00000 +0,00003 0.0000 


-0.0000 












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0000 -0.00001 o.oooo 


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0000 O.ooooo O.ooaao O.ooooo 









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OllSl +0.04.1SS +0 
OS489 —0.01391 +0 


0OS.JO —0. 


,,„ -0.00100 +0.003S 


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00434 +0.00S7I — 0.00OS6 — O.oosoe — O.ooqu 


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0048S +0.00498 — 


O0S08 -O.OOSIS +O.00OSO +0.0016 


8 +0.00010 


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00146 -0.00179 +0 


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OOOOI +0. oooos — 


OOOOI — O.OOOUi o.ooooo +0.00001 0.00000 


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i-6 i-6 


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-56.9f.S6S 


— 9.0ÄS1J +7.7B8S» +3.1SS98 


— 1.018*1 — 0.BS813 


+0.0S74* 


+0.30*73 




+ 7.051.9 


-0.o3««5 -S.ii»!» — O.sms 


+0 


.99310 +0 




—0 




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— 1.18SSS 


—0,17717 +0.9si»e +0.is7i» 


-0 


.46869 — 


1763» 


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IS990 


+0 






+ 0.144I1 


+0.o<9so -0.S190S -O.o7»«i 


+0 


1*198 +0 




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— O.OSM» 


— O.oisio +0.01909 +0.o»»oo 


^0 


04»»« — 


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+ 0,oo*SJ 


+0.Ü0S1O — O.00S4S — 0.006JS 


.+0 


00911 +0 




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c, 


- 0.0OOS3 


— O.0UO60 +0.0010S +O.0O14S 


-0 


00J7S -0 




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00194 


+0 


00311 




+ 0.0001* 


+0.0001» —0.0001» — O.oonsa 


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00039 +0 




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00040 


—0 




c, 


— O.oooot 


—0.0000» +0.OOOU» +0.00001 


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-0.00001 -O.OOOOI -0.00003 


+0 


OOOOI +0 




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0.00000 +O.0OO0I +0.00001 





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+0.00001 0.00000 O.ooooo 





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— 4.S8SS8 — 0.4S8TS +I.i8807 


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sa»i« — 




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+0 




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— 0.51SJ1 


+0.78»Ii +0.14J»S — 0.i9S9S 


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+0 




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— 0.17087 — 0.06»4» +0.1§a85 


+0 


06671 — 




-0 


0**4* 


+0 






— O.oii»» 


+0.01BJS +0.0»04» —0.04079 


-0 


oisfi« +0 




+0 




-0 


01967 


*» 


+ O.OOS»! 


— O.OOiJ» — O.OOilS +0.0075.S 


+0 


öOflgi _o 




-0 




+0 


006*0 




— 0.0D0S3 


+0.OOOS1 +O.0O1OS — 0.0013S 


-0 


0019» +0 


00186 


+0 




-0 






+ O.ooois 


—0.00009 -O.oooa» +0.ooo»o 


+0 


oooii — 


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+0,11. 




+ Ü.02B 


• + O.oii 


— 0.03» 


- 0.06« +0.01» 


+0.05 


-O.ooa 


— O.OIT 




— 0.007 


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+ 0.006 


+ 0.019 —0.00. 


—O.Ol 


0.000 


+0.0.7 


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+ 0.803 


- 0.001 


- Ü.008 0.000 


+0.00 


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ZO.008 




0.000 


— 0.801 


0.000 


+ 0.003 0.000 


-0.00 


0.000 


+0.003 




+2Ö.O09 


- 0.176 


— 11.491 


t 2.769 +S.7S8 


+ 1.90 


—0.9)5 


X0.89O 


H 


-25.Bas 


+ 5.M.1 


+ 13.807 


+ 0.81» -6.937 
+ 1.007 +6.469 


-1.80 


+2.033 


+ 1.308 


«. 


+ 1Ö.0V8 




— 10.350 


+0.85 


—2.353 


l0.»5» 


>. 


- 7.SO0 


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+ B.788 




-0.14 


+1.896 


+0.S37 




+ 3.109 


- 2.17S 


- 2.77.1 


+ o:908 +2:^3 


-0.10 


— 1.307 


30.!1» 




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+ 0.984 


+ 1.181 


- 0.45» -0.957 


+0.11 


+0.848 


+0.07* 




+ 0.tS8 


- 0.108 


- 0.483 


+ 0.183 +0.409 


-0.05 


-0.)06 


-0.03» 




^ 0.149 


+ 0.09.1 


+ 0.167 


— 0.064 —0.160 


+0.03 


+0.1)1 


+0.006 




+ 0.049 


— 0.OS6 


- 0.057 


+ 0.019. +0.OS8 


—0.00 


-0.05» 


-0.00» 




- 0.014 


+ 0.008 


+ 0.018 


— 0.001 —0.030 


+0.00 


+0.019 


+0.00» 


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+ 0.004 


- 0,001 


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+ 0.003 +0.006 


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98 -506.66 +487.11 


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-139.5» 




- 676.73 


- 81.34 


+ 590 


99 +210.9) —378.61 


-234.58 


+ 164.71 




+ 262. «0 


+ 17.U 


- 255 


48 — 68.31 +214.09 


+ 95.4* 


-136.36 




- 97.14 


- 6.47 


+ 98 


6, + 21.3T - 


KJ.60 


— 37 .)3 


+ 78.71 




+ 81.18 


+ 1.8S 


— 83 


66 - 6.M + 


85.96 


+ 13.88 


3 83.10 


c, 


— 10.10 


— 0.71 


+ 10 


BS + 2.55 - 


12. J4 


- 5.16 


+ 12.7. 




+ 2.9» 


+ O.ü 


- 3 


SO - 0.9. + 


3.96 


+ 1.89 


- 4.49 




- 0.90 


- 0.0* 


+ 


97 + 0.3» — 


1.30 


- 0.66 


+ l.»8 




+ O.s* 


+ 0.0» 
+ O.Ol 


- 


36 - 0.09 + 


0.18 


+ 0.3» 


— 0.43 




- 0.04 


+ 


09 + O.Ol - 


0.10 


- 0.08 


-- 0.11 




4- O.oe 


- O.Ol 





00 - 0.05 + 


O.Ol 


+ 0.03 


-- 0.03 




+ 0.0* 


— 0.04 


~ 


Ol + O.os 


0.07 


O.80 


-- O.Ol 




-- O.Ol 


+ O.Ol 
-^138.J4 





00 - 0.03 


O.Ol 


— 0.03 


- O.Ol 




+ 227.es 


— 123 


„ -258.5) - 


37 .ST 


+186.19 


+ 100.15 




- 76. js 


- 60,07 


+ 49 


«S +141.39 + 


18.56 


-139.45 


— 62.J9 




4- 27. 4C 


+ 26.« 


- 17 


JS ± 63.78 - 


6.8J 


+ 78.33 


+ Ö0.I7 




- 7.6» 


3 8,97 


+ 4 


ti + 24.1» + 


8.89 


- 81.10 


- 13.4. 




4- 1." 


+ 2.88 


- 


75 - 8.14 - 


1.98 


+ 11.43 


+ 5.50 




- 0.40 


- 0.89 


+ 


04 + 2,59 + 


0.91 


Z a.88 


Z 2.18 




4* o,os 


+ 0.36 


+ 


07 — 0.16 - 


0.»3 


+ 1.30 


+ 0.80 




- O.Ol 


- 0.11 


— 


05 + 0.31 + 


O.i» 


— 0.)8 


— 0.37 


s. 


0.00 


+ O.oi 


+ 


0» - 0.06 - 


0.07 


+ 0.1» 


+ 0.09 




0.00 


~ O.Ol 


— 


0» 4- o.os — 
0) -f 0,09 — 


O.oe 


— 0.01 


- 0.0» 


«1 


- O.Ol 


0.00 


+ 


O.OT 


+ 0.0. 


+ 0.0. 


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-281.J» 


+ 7.M 


+102.8» 


+19.80 -87.93 


— 15.8 


+ 11.67 


+8-» 




4-173.S» 


-42.91 


— 97.37 


- 8.»i +43.69 


+11.7 


—16.11 




«t 


-100.11 


+60.73 


+ 75..1 


-14.42 34S.TS 


- 8.8 


+20.39 


+6:" 




+ 46.6V 


-44. u 


- 4S.»e 


+17.99 +81.10 


— 2.5 


-17.97 


—8.14 


"I 


- 19.83 


+24.0» 


+ 21.»» 


-12.87 -18.04 


+ i.o 


+ 12.36 


To!»« 




+ 7.9» 


-lO.Tl 


- 9.41 


+ 6.90 + 9.0J 


- 3.0» - 6.98 


C( 


- 3.oa 


+ 4.18 


+ 3.8» 


- 3.06 - 4.00 


+ 1.6 


+ 8.45 


-0.*» 




4- l.is 


— 1.41 


- 1.49 


+ 1.30 + 1.56 


- 0.7 


- 1.56 


+0.3* 




— O.as 


+ 0.4» 


+ 0.51 


- 0.4) - 0.63 


+ 0.3 


+ 0.64 


-0.1» 


Ci 


+ O.iJ 


— 0.14 


- 0.18 


+ 0.1» + 0.14 


- 0.0 


_ 0.37 


0.00 




- 0.01 


+ 0.04 


+ 0.07 


- 0.03 - 0.08 


+ 0.0 


+ 0... 


—0.05 




4- O.Ol 
-1- O.Ol 


- 0.0» 


- 0.08 


+ O.Ol + 0.09 


- 0.0 


— 0.07 


+0.03 


c. 


+ 0.03 


— O.Ol 


0.00 - 0.0» 


+ 0.0 


+ 0.03 


—0.01 



y Google 



t-7 


t-8 


*-9 


4-10 t~ 


11 t-12 


»-18 


.-14 


s, 


-79.«» 


—82 t\ 


+ 16.40 


+45.88 +4 
-60.11 ^4 


61 -19. S3 


-7.09 


+ 6.« 




+85.se 


+69 




l3S 




17 +27.9» 


+5.13 


_11.«7 




-56.19 


—40 




+29 




+35.10 —9 


99 -22.81 


— 0.8T 


+ 12.38 




+27. ia 


+19 




-18 




-19.a8 +8 


öi +14.87 


-1.S4 


- 9.38 




— 11.S.1 


— 8 




+ 8 




+ 9.16 -4 


8» - 7.9* 


+ 1.8* 


+ 6.86 




+ 4.S« 


+ 3 




- 3 




- 3.94 +2 


»« + 8.7* 


-0.98 


-L 8.0s 




— 1.S9 


— 1 




+ 




+ l.M -0 


99 — 1.6» 


+0.49 


+ 1.43 




+ ü.»a 


+ 




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- 0.60 +0 


»» + 0.67 


-0.30 


- 0.«o 




3 0.1» 


_ 




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+ 0.S4 —0 


11 ~ 0.69 


+0.0T 


+ 0.38 




+ O.os 


+ 




- 


Ol 


— O.OT +0 


0» + 0.11 


0.00 


- 0.09 


»■■ 


- O.Ol 


TOOT 


O.oo 


- 0.0, -ü 


03 - O.Ol 


+Ü.01 


+ 0.01 








yf7) 








t-1 


t-2 


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t — 4 


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t-6 


4-7 


c. 


— 1298.9S 


-438.IS 


+756.11 


+485.41 


—280.»» 


— 819.8S 


+58.76 




+ 655.64 


+155.05 


-490.11 


-237.18 


+260.SS 


+210.06 


—92.97 




— 261. M 


— 36. SS 


+240.S* 


+ 79.49 


-177.10 


-102.** 


+96.79 


■'i 


+ 98.10 


+ la.fto 


_ 97.71 


- 29.8» 


+ 86.S1 


+ 48.4» 


-59.SS 




- 82.» 


- 4.oa 


+ 35.1* 


+ 10.94 


- 36.»» 


- 17.34 


+29.13 




+ lO.Jo 


+ I.»s 


- ll.fla 


- 8.TT 


+ 12.60 


+ 6.S1 


— 12.oa 


e. 


- 3..a 


— 0.S5 


+ S.64 


+ l.ss 


— 4.3S 


— 2.18 


+ 4.S7 




+ 0.88 


+ O.s» 


- 1.0« 


- 0,81 


+ l.Sl 


+ 0.91 


- 1.4S 




- O.a» 


— 0.10 


+ O.ji 


+ 0.18 


— 0.S9 


- 0.39 


+ 0.44 


c. 


+ 0.08 


+ O.oa 


- O.oj 


- 0.0* 


+ 0.08 


+ 0.09 


— 0.10 




— O.oa 


— 0.03 


+ O.Ol 


+ O.Ol 


— O.Ol 


— 0.0) 


+ 0.08 




+ O.oa 


+ O.Ol 


- 0.0» 


-. 0.09 


+ o.oa 


0.00 


- O.Ol 




0.00 


- O.Ol 


+ O.Ol 
+ S5.i7 


-- O.Ol 


4- O.Ol 


0.00 


+ 0.01 




- 198.ai 


-229.71 


- .236.S9 


1^82.78 


-129.S1 


-97.0» 




+ e9.7a 


+109.98 


- 19.7» 


-160.34 


I 42.73 


+115.S0 


+ 70.87 




- 24.il 


- 47.i» 


+ 6.14 


+ 72.47 


+ 19.8* 


- 67.10 


—37.19 




+ 6.»i 


+ 17.S1 


— 0.8J 


- 28.8» 




+ 30.61 


+17.01 




- 1.» 


- 6.0S 


— 0.4» 


+ 8.74 


+ 8;74 


- 11.91 


— 7.08 


*i 


+ O.SO 


+ l.TS 


+ 0.J8 


- 8.J6 


— 1.48 


+ 4.17 


+ 2.8, 




- O.oa 


- O.ss 


— 0.19 


+ 0.*6 


+ 0.*6 


— l.Sl 


— 1.04 


*• 


— 0.0» 


+ O.is 


+ 0.10 


- 0.»9 


I O.S» 


+ 0.41 


+ 0.S7 


«» 


+ O.Ol 


- O.Ol 


- 0.00 


+ 0.0) 


+ 0.07 


— 0.1» 


— 0.0» 


*>• 


0.00 


— O.oa 


+ O.Ol 


- O.OB 


- O.oa 


+ 0.06 


+ 0.0* 




- O.Ol 


+ O.Ol 


- 0.0» 


+ 0.0» 


- O.OB 


- O.Ol 


- O.oa 


(-8 


t-9 


t-lO 


i-u 


i-12 


1-13 


t — 14 


c. 


+168.a9 


+ 18.18 


-68.81 


—19. so 


+21.*» 


+11.9» 


— 5. »6 




— Iffi.ao 


+66. 9S 


+10.SI 

+ 2.SS 


—27.»» 


— 10.6S 


+ 8.96 




+ 90.04 


-83.1S 


-69.08 


+80.57 


+ 6.46 


— 12.79 




— 46.88 


+29.91 


+97.90 




-24.»» 


— l.»l 


+ 12.6. 




+ 21. SS 


— 18.S4 


-30.18 


+ 7:99 


+16.»« 


- l.Sl 


— 9.19 




— 8.»a 


+ 8.90 


+ 9.4S 


- 4.8« ■ 


- 8.1» 


+ 1.4» 


+ 6,6» 




+ S.sa 


- 8.07 


- 4.08 


+ 2.J7 


+ 8.8» 


- 0.9» 


- 2.»» 




— l.so 


+ l.Sl 


+ l.ss 


- 1.00 


- 1.6» 


+ 0.4» 


+ l,s» 


«1 


+ 0.19 


- 0.44 


- 0.S8 


+ o.ss 


+ 0.66 


- 0.31 


— 0.89 


Ci 


- 0.1« 


+ O.IS 


+ O.io 


— O.ii 


- 0.S4 


+ 0.08 


+ 0,96 




+ 0.04 


- O.os 


- 0.08 


+ 0.0» 


+ 0.11 


^ 0.00 


— 0-09 




— 0.04 


- 0.0» 


+ 0.0» 


— O.os 


— O.Ol 


0.00 


+ 0.04 


^n 


— O.Ol 


0.00, 


- O.Ol 


+ O.Ol 


+ O.os 


— O.Ol 


— 0.03 




+ 41.JI 


+G8.SJ 


- 2.0* 


-30.S8 


- 7.18 


+ 11.80 


+ 5.89 


»1 


- 56.97 


-61. so 


+15. st 


+38.08 


+ 2.S1 
+ 3.0S 


-18.9) 


— 6.81 




+ 42.9» 


+89.01 


3i8.sa 


329.46 


+ 17.S8 


+ 2.88 




- 28.40 


-19.97 


+12.84 


+17.11 


- 4.19 


-12.04 


— o.ss 


'i 


+ 10.11 


+ 9.03 


- 6.89 


- 8.78 


+ 3.08 


+ 7.18 


- O.s» 


■• 


- 4.0* 


- 3.71 


+ 8.04 


+ 3.98 


- l.«s 


- 8.13 


- 0.15 




+ 1.4S 


+ 1.4S 


- 1.17 


- l.«4 


+ 0.78 


+ 1.79 


— O.as 


■• 


- 0.46 


- O.J. 


+ 0.4» 


+ Ü.es 


- 0.31 


- 0.«« 


+ O.ii 


'• 


+ O.is 


+ 0.17 


- O.H 


- 0.J4 


+ 0.10 


+ 0.»s 


Z 0.04 




- 0.0» 


- 0.00 


+ 0.04 


+ 0.10 


- O.os 


- 0.08 


+ O.Ol 


»" 


— O.Ol 


4 


O.Ol 




0.00 


- O.oa 


U.oo 


+ 0.00 


— O.Ol 



y Google 



Nach Angabe von Hansen habe ich die Kontrolle der c und s Koeffizien- 
ten durch Einsetzen von drei verschiedenen Werten von s nämlich e = 0", 15° 
und 30" in den Gleichungen 



r;K = I C:J + 'ECr\ cos ve + XS;-; 8i! 



8m ye 

ausgeführt, wobei ich vollständige Übereinstimmung zwischen der linken und 
rechten Seite fand. Diese Kontrolle kontrolHrt aber nur etwa die Hälfte aller 
dieser c und s KoelBzienten, während beliebige Fehler in den übrigen doch 
vollständige Übereinstimmung in der Kontrolle geben kann. Ich habe daher die 
Kontrolle für ein £ = 23''30', das nicht zu den aliquoten Teilen gehört, ausge- 
führt, welches ich so gewählt, dass die Quantitäten, die gar nicht in der vori- 
gen Kontrolle kontroliirt -wurden, in dieser möglichst genau kontrollirt sind, 
und glaube dadurch eine sichere Kontrolle aller Koeffizienten bekommen zu 
haben. Zu diesem zwecke habe ich zuerst die numerischen Werte von ß und 
Y für £=23''30' ausgerechnet. Eine andere Kontrolle liegt auch darin, dass 
die Ci, und £„ immer klein sein müssen. 

Nach dem diese c und s Koeffizienten berechnet sind, erhält man die 
Koeffizienten in der Entwickelung von A—l' aus der Formel 

A-'U = 22 (Ci;, ± Sl\^ cos [(i ± v)e - ie'] 

-11. (GI\\tSI\]) sin [(i ± v)£ - ie'] 
wo zu bemerken ist, dass 

c"/.: = c;;'„ = s;;; = s:;^ = 5;;; = 

und für i =s nur die oberen Zeichen gelten und dass C" ■ l zweimal zu gross 
ist. Die in den folgenden Tabellen in der Kolumne sin angegebenen Koeffi- 
zienten sind (C^v.i ^"^v'.i) ""*^ 'i'^'^* ~ C^v'.iTS";;). 



y Google 



e c' 


Ä-'l^ 


^-'/. 




A 


-'/. 




A-I- 


cos 


Sin 


DOS 


Bin 


COS 


Sin 




L™ 1 


0. 


+22Ü,M8.' 




+415, in* 






+1286.07' 






+1406.7- 






1. 




H.tSSK 


— l.asie 


- 69.107S 




23.5890 




414.978 




162.710 


— 676. T 




227.7 


2. 


+ 


0.BS9S! 


- 0,4«4I 


+ 1B.7)»I 




0.8941 


+ 


133.571 


+ 


22.442 


+ 262.6 


+ 


76.7 


S. 




0.1J7S 


+ 0.0114 


- 3.«3« 




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+ 9... 


+ 8.1 


+ 90.1 


9. — 12 


— O.oosi 


-0.0318 


— O..IB 


— 0.971 


- l.Sl 


-15... 


— 5.6 


- 47.1 


10. — 12 


-0.O0S8 


+0.o)ij 


-0..19 


+ 1.3*8 


— 1.9S 


+19..0 


- 6.1 


+ 57.8 


11.-12 


+0.0108 


-0.0348 


+0.43) 


— 0.99S- 


+ 6.S0 


-16..0 


+18.9 


^ 46.6 


12. — 12 


-0.0076 


+0.008S 


-0.)1« 


+ 0.)78 


- 6.1. 


+ 6..7 


3l5.. 


+ 21.1 


18. — 12 


— O.oooa 


—0.0019 


+0.o»e 


-O.io» 


+ 0.,. 


- 2.11 


+ 4.6 


- 7.. 


14.-12 


—O.OOOI 


+0.0008 


-0.0.1 


+ 0.04) 


- 0... 


+ 0... 


— 1.6 


+ 3.1 


16. — 12 


0.0000 


-O.OOOI 


+0.001 


-0.009 


+ 0..I 


- O.a. 


+ 0.5 


- 1.. 


16. - 12 


0.0000 


O.ooou 


0.000 


+0.00) 


- 0.01 


+ 0... 


- 0.1 


+ 0.4 


n. — 12 


0.0000 


o.oooo 


0.000 


0.000 


0.00 


— O.oa 


+ 0.1 


- O.a 


18.-12 


Ü.oooo 


o.oooo 


0.000 


+0.001 


0.00 


+ O.Ol 


0.0 


+ 0.1 


a-13 


0.0000 


ü.oooo 


+0.003 


0.000 


+ O.Ol 


- O.Ol 


+ O.I 


0.0 


4.-13 


—0.0001 


0.0000 


-O.oos 


+0.00. 


- 0.1. 


+ 0... 


- O.s 


+ 0.1 


6.-13 


+0.000. 


—0.0001 


+O.0IS 


— O.ou) 


+ 0..1 


- 0... 


+ 1.. 


- 0.4 


6. — 13 


—0.0009 


+0.000» 


-0.041 


+0,01. 


- 0..a 


+ 0..4 


- 8.4 


+ 1.0 


7. — 13 


+0.O0SÜ 


-0.000.* 


+0.100 


-0.03S 


+ 1... 


- 0.1. 


+ 6.. 


- 2.0 


a— 13 


-O.OOtT 


+0,0010 


-O.sa. 


+0.047 


- 4.04 


+ 0..7 


-14.1 


+ 8.0 


9.-13 


+0.009» 


-0,0011 


+0.<ao 


-0.048 


+ 7... 


- 0..1 


+24.. 


- 2.6 


10. — 13 


-0.014» 


— O.ooos 


-0.«sa 


— O.ojo 


-11.0. 


— 0.S9 


-35.. 


- 2.a 


11. — 18 


+0.0178 


+0.00*0 


+0.Jt3 


+0.316 


+12..1 


+ 9... 


+38.6 


+ 11.6 


12.-13 


-0.0118 


-0.0081 


-O.i.) 


— 0.84J 


- 8..I 


— 5.70 


-27.6 


- 17.8 


la — 13 


+O.üo»i 


+0.0044 


+0.1J4 


+0.»o. 


+ 8..0 


+ 3..7 


+ 11.7 


+ 12.0 


14.-13 


-0.0011 


-O.OOOI 


— O.oäb 


— 0.0»4 


- 1.10 


— 0.76 


- 4.6 


— 3.6 


15.-18 


+0.000. 


+0.0001 


+0.0») 


+0.010 


+ 0..0 


+ 0... 


+ 2.0 


+ l.I 


16.-13 


—0.0001 


0.0000 


-O.oos 


-0.001 


- O.u 


— 0.06 


- 0.6 


- 0.4 


17. — 13 


0.0000 


0.0000 


+0.00» 


O.ooo 


+ 0.0. 


+ 0.01 


+ 0.1 


+ 0.1 



»Google 



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O08 


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O.BOOO 


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0.000 


+0.001 


0.00 


+0.01 


0.0 


+ 0.1 


4. — u 


O.oaoo 







0.000 


-0.003 


0.00 


-Ü.04 


— 0.1 


- 0.1 


6. — U 


O-otioo 


+0 


ODOI 


0.000 


+0.ooi 


+0.oa 


+0.11 


0.0 


+ 0..^ 


6. — 14 


0.0000 


-0 


0003 




-O.ou 


—Ü.oi 


-0.39 


- 0.3 


- l.i 


7.-14 


+0.000. 


+0 




+o:oo5 


+0.0.5 


+0.13 


+0.73 


+ 0.» 


+ 2.8 


a-14 


— O-ooos 


-0 




—0.010 


-0.081 


-O.sa 


-1.61 


0.0 


- e.D 


9.-14 
10. - 14 


-(-O.00O2 


+s 


OOSl 


toZl 


+0.ifii 

-0.194 


io:»ö 


+ 8.30 
-6,4» 


t?:; 


+11.4 
-18.7 


11. _ 14 


— O.ooso 


+0 




-0.096 


+0.415 


-1.77 


+7.45 


3 6.. 


+3*.B 


12. - 14 


+0.00*7 


-0 


0091 


+0.315 


-0.419 


+3.8a 


-7,41 


+ 12. T 


!«.,> 


ia-14 


-0.00,^4 


+Ü 




-0.347 


+0.350 


—4. »7 


+4.54 


-U.s 


+ 16.4 


14. - 14 


+0.0034 


—0 


0014 


+0.i31 


—O.Ol« 


+2.»5 


-1,57 


+ 8.. 


- 6.. 


16. - 14 


-0.0003 


+0 


0006 


— O.OH 


+0.011 


—0.5« 


+0.66 


- 3.1 


+ 2.,^ 


ia-14 


+0.0001 


—0 


0003 


+0.009 


— O.oia 


+0,33 


-0.31 


+ 1.1 


- 1.1 


17. - 14 


0.0000 





0000 


-0.001 


+0.003 


-0.05 


+0.08 


- 0., 


+ 0.4 


la — 14 


O.oooo 





oooo 


0.000 


-0,001 


+0.01 


-0.03 


0.0 


- 0.1 


6.-16 


0.0000 





oooo 


— O.ooi 


0.000 


—0.04 


0.00 






6.-15 


+0.0DO1 





0000 


+0,004 


0.000 


+0.10 


-O.Ol 






7.-1B 


— O.oooa 







—0,013 


O.ooo 


-0.36 


+0.01 






a-15 


+0.000.1 





oooo 


+0,038 


— O.ooi 


+0,61 


-0.03 






9.-15 


— O.ooia 





oooo 


-0,063 


O.oou 


— 1,»0 


-O.Ol 






10. - 15 


+O.ooaj 


+0 


0003 


+0,13. 


+O.0U 


+2,43 


+0.33 






11. — 15 


— O.ooss 


-0 


0008 


-0,197 


—0.04» 


-8,81 


—0.81 






12. - 15 


+0.0050 


+0 




+0,331 


+O.100 


+4,75 


+2.09 






la - 15 


— 0.004S 


—0 




-0,33» 


-0.17S 


-4.18 


—8.38 






14. ~ 15 


+O.ooäa 


+0 


00» 


+0.11» 


+0.18» 


+2.31 


+8.08 






16. - 15 


— O.ooos 


—0 


0013 


-0.0»! 


-0.071 


-0.69 


— 1.49 






16. - IB 


+0.000, 


+0 




+0.016 


+0.014 


+0.»4 


+0.40 






17.-16 


—0.0001 


—0 




-0.008 


-0.006 


-0.14 


-0.15 






la — 15 


0.0000 





oooo 


+0.003 


+0.001 


+0.04 


+0.04 






19. - 15 


0.0000 





oooo 


— O.QOl 


0.000 


-O.oa 


-O.Ol 






a — 16 


O.OODO 





oooo 


0,000 


+0.001 


0.00 


,+O.os 






7.-16 


O.oooo 


—0 




0.000 


-0.004 


0,00 


-0.09 






a — 16 


Ü.oooo 


+0 


0003 


-0,001 


+Ü.OIO 


—0,01 


+0.33 






9. — 16 


0.0000 


-0 




+0.003 


-0.033 


+0.05 


-0.50 






10. — 16 


-0.0001- 


+0 




-0,007 


+O.046 


— O.ii 


+ 1.00 






11. — 16 


+O.O004 


-0 




+0,031 


-O.084 


+0.44 


-1.7,1 






12. — 16 


-0.0009 


+0 


003» 


-0.031 


+0.1IS 


—Los 


+2.54 






la - 16 


+0.0018 


-0 




+0.09T 


-0.144 


+ 1,94 


-2.86 






14.-16 


-0.0034 


+0 


0031 


-0.137 


+0,111 


-2.ia 


+2.30 






16. — 16 


+0,001» 


-0 




+O.10, 


-Ü.04S 


+2.05 


-0.97 






16. - 16 


-O.OOOT 


+0 


0003 


-0.041 


+0.011 


— Ö.»i 


+O.SJ 






17. - 16 


+0.0001 


-0 


0001 


+0.009 


-0.008 


+0-37 


-0.1, 






18. - 16 


0.0000 







—0.004 


+0,00» 


-0.10 


+0.07 






19. - 16 


O.ooon , 





oooo 


+0.001 


-0,001 


+O.03 


-ü.o. 







Um die Koeffizienten in den Reihen für A "'' zu prüfen, mache ich 
folgende Entwjckelung: 

^-'' = 1 2ys;,"' + 24S ^"' cos {ie' - iF) 

oder 

A~ "'' = 1 Sy?;" + 24S ß'^ (cos ie cos iF + ein ie' sin iF) 



y Google 



32 

und wenn wir i^ für s = 0" mit F,, bezeichnen, wird die vorige Formel 
für 8 = 0" 

^— /. = nßl" + 24X >S*"' C08 iFo ■ cos ie' + 2451 ^"* sin iF^ . sin ie (a) 

Wir können aber auch die Entwickelung Ton ^~"'' folgendermaesen 
schreiben: 

A~"^' = 'T. Z \£l''iCOs[{i + v)£-ie'] + Dl^°fCm[{^~v)£ — ^e'\ — 
- ^;-.;-Bin [(j + v)e - ie'] - Z*;;'f8in [{i - v)e - ie']\ 
wo 

und 

K.'<,=K.''>=KX = K'.'i = K.'i = 

und £l'l=C''l zwei mal zu gross ist. Setzen wir hier e = 0", bekommt man 

^~"''=S S jjfy" jCos jV + ü^'fCOBjV + ^y'.'8iniV 4-i)J);;8in/e'{ 
oder 

j1~"'' == So" ■ ' cos »V + Xo' ■ ' sin f'e' (b) 



Die Gleichungen (a) und (b) sind identisch, also 
24^"' cos iF(, cos ie' + 24y3j"' sin iF^ sin «c' -= o^ ■ *■ cos le' + ö" ' ' sin ie' 
oder 

24^"VoB(»V-tFB) = <^''co8*V + fl"''8in iV. 
Bei dieser Kontrolle ist e' = 10" angenommen, nur nicht för * = 9, wo 
e' = 15* gesetzt ist. 

Eine zweite Kontrolle habe ich dadurch bekommen, dass ich fUr e — 0", 
c' = 10' teils direkt 

(für n = 7 ist der Exponent von a gleich « - 3) berechnet habe, teils durch 
SummiruDg von 



y Google 



A "'' = S ö" ■ " cos jc' + 2 o' ' sin le' 

für e' = 10; hier ist doch zu bemerken, daas Glieder mit cos 9e' dadurch nicht 
kontrollirt werden; sie sind doch in der vorigen Spezialkontrolle geprüft. Da- 
gegen entgehen alle Glieder mit ein /e' multiplicirt für ! = diesen zwei 
Kontrollen. Sie sind durch folgende Gleichung für £ = 15° geprüft: 

i2y3f,"' = Z j 2\,X cos ve - X'^-'^ ein ve) 

Die zweite Kontrolle giebt folgende Werte für X~"'*; 

^-''. A-'l- A-'t' 

Direkt + 99'8841 + 94707 + 89Ü84 
Reihe + 99.8841 + 94.707 + 89.84 

Auf A ~ ''• habe ich nur Kontrolle eins nnd drei angewandt. 



Sin \ J 8in 1 \J] 

zu evaluiren. 
"Wir haben 

^^,^ = ^-V,_i..yi.^-V,co8 2e' + i-.?i.vl-'/'(l+co8 4e') + etc. 
sin Y A 4 o* 64 o* 

^;(«)' = .4-V,_ 3.^2.^-'/, cos 2£'+i^.^.^-'/-(l + cos4e') + eta 
sm 1 \4) 4 a' 64 a* 

Wir Bchreiben diese Entwickelungen in Reihen folgendermassen : 
-^^ o"~' (-)' = s (Ö • - c) + 1 l{t . z' . c) cos (/£ - f'c') -I- "IXii . t" . s) sin (»e - i'e') 

8ID 1 \A] 2 

Die Koeffizienten (t . t' . c) und (; .i'.s) sind in den folgenden Seiten 
tabullirt. 



y Google 








m' 


a 


a'- »t 


M- 


e e' 




^iET' 


J 


aml 


U) 


003 


«n 


cos 


Bin 


0. 


+1.220..«.^ 




+ 1.415.468 




1. ü 


_ 


3.JMU 


tJ:S 


— 69-6SJ0 


+ 23-340» 


2. 


4- 


1.0JS99 


+ 16-4743 


-- Ü.3991 


3. 




O.uai 


S. 0.013« 


- 3.79. 


-- 0.389 


i. 


+ 


O.OSSB 


+ 0.0110 


+ 0-9S6 


+ 0.081 


6. 




O.QOU 


— 0.0018 


Z 0.200 


— 0.097 


6. 


+ 


0.000» 


+ 0.000. 


+ 0.044 


+ 0.010 


7. 




O.dooi 


— 0.0001 


— 0-010 


— 0.00» 


a 




0.0000 


0.0000 


+ 0-oos 


+ 0.001 


9. 




0.0000 


0.0000 


- 0.0«, 


O.ooo 


- 10. — 1 




0.0000 


0-0000 


+ 0-001 


0.000 


- ». — 1 




0.0000 


0-0000 


0.000 


+ 0.001 


- 8.-1 




O.oooo 


0-0000 


-- 0-001 


— 0.002 


- 7. — 1 




0.0000 


0-0000 


+ 0.003 


+ 0.003 


- 6. — 1 




O.oooi 


— 0.0003 


— 0.007 


— 0.014 


- 6. — 1 


+ 


0.000« 


+ 0.00.1 


+ 0.031 


+ 0.061 


- 4.-1 




O.ooa« 


_ O.U06S 


— 0.089 


— O.sao 


- S.-1 


+ 


O.oioo 


+ O.OS44 


+ 0.817 


+ 1.184 


- 2.-1 




O.OMl 


_ 0.»!«a 


— 0.38S 


— 5.46» 


- 1. — 1 




0.830.^ 


+ 1.M.7 


+ 2.191 


+ 22.936 


a-1 




8.is»a 


—12. »690 


-. 19.S61 


— 93.973 


i.-i 




12.01»« 


+66.3177 , 


-1- 69. MO 


+284.814 


2.-1 




0.84M 


Z l-ms 


- 19.938 


- 88.896 


a-1 




O.ufifi 


+ 0-6378 


+ 0.T88 


+ 11.49» 


4.-1 




O.oosi 


- 0-OTM 


— O.MI 


— 2.474 


6.-1 




0.0031 


+ 0-0149 


+ 0-003 
-\- 0.003 


+ 0.S70 


6.-1 


+ 


0.0007 


2- 0.0039 


— 0.IB6 


7.-1 




0.0003 


+ O.ooos 


- 0.008 


+ O.oio 


8.-1 


+ 


0.0001 


Z 0.0001 


+ O.ooi 


— 0-007 


». — 1 




0-0000 


0.0000 


— U.ooi 


+ 0.003 


la — 1 




o.oooo 


0-0000 


0.000 


— O.OOI 


11. — 1 




O.oooo 


0-0000 


+ O.oo. 


+ O.OOI 


12.-1 




O.oooo 


O-oooo 


- 0.001 


0.000 


— 7.-2 




O.oooo 


O.oooo 


+ 0.001 


— O.OOI 


- 6.-2 




0.0001 


+ 0.0001 


- 0.004 


+ O.ooi 


- 5.-2 


+ 


O.ooos 


- O.ooo» 


+ 0.013 


- 0.010 


— 4.-2 




O.ooi« 


+ 0.001. 


— 0.084 


+ 0.017 


- a-2 


+ 


O.oosi 


- 0.0084 


+ 0.177 


- 0.1.9 


- 2-2 




O.osü 


•f O.osso 


- 1.606 


+ 0.41t 


- 1.-2 


+ 


0.S990 


- 0.1383 


+ 7.m 


— 1.131 


0.-2 




S.OJOt 


+ 0.3903 


- 26. »81 


+ 2-976 


1.-2 


+ 


9.70« 


-- 0.348» 


+ 92.989 


-- 1-191 


2.-2 




20.3366 


-- 9.O5T0 


-165.713 


+ 72 -ISS 


a-2 


+ 


0.36)3 


- 0.S07S 


+ 18.363 


— 14.154 


4.-2 




0.9667 


- 0.0337 


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4- 1.016 


10. — 12 


— O.ooii 


- O.0S18 


— 0.19« 


- 1.97. 


11.-12 


+ 0.01U8 


+ 0.0240 


+ 0.496 


4- 1.00« 


la — 12 


— 0.007T 


— 0.0086 


- 0.119 


- 0..87 


13, - 12 


— 0,0001 


+ O.ooio 


+ O.oio 


4- o.iofl 


14. — 12 


— ü,ooos 




- 0,01. 


- 0.04* 


16. - 12 


0.0000 


+ o!oooi 


+ 0,009 


4- 0.010 ' 


ia-12 


0.0000 


- 0.0001 


0.000 


- 0.00. 1 


17. - 12 


0.0000 


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0,000 


4- 0.00. 1 


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ü.oooo 


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O.ooo 


- 0.001 


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0.0000 


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0.0000 


- 0.008 


— 0.001 


6.-1» 


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+ 0.0001 


+ 0.0.7 


4- 0.004 


6.-13 


- 0.0009 


- 0.0003 


— 0.04« 


- 0.014 1 


7.-13 


+ U.ooH 


+ 0,0008 


+ Ü^u 


4- 0.011 


a-18 


— 0.00,M 


- 0.0011 


- 0.!41 


- Ü.04J 


9.-13 
10. — IS 


+ 0.0099 
— 0.014,1 


+ 0.0019 
+ 0.0007 


+ 0.448 

- 0.678 


4- 0.04. 
4- 0.0.4 


11. — 13 


+ 0.0IT4 


- 0,«oss 


+ 0.741 


- 0.»S4 


12. — 13 


- 0.0119 


+ 0,0081 


— 0.4S1 


4- 0..49 


la — 18 


+ 0,0038 


~ 0,0044 


+ 0.179 


- 0.»o» 1 


14.-18 


- 0.00.1 


+ 0,0001 


- 0,o«o 


+ 0.097 1 



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15.— 13 


+ O.oout 


- 0.01.03 


+ O.os. 


- O.Ol» 


16. - 13 


- O.noül 


O.oooo 


- 0.00« 


+ 0.00» 


17._13 


O.ooou 


O.oooo 


+ O.oos 


^ 0.000 


a — 14 


O.oouo 


O.ooüO 


O-ooo 


- 0.001 


4.-14 


Ü.uooo 


O.oüoo 


O.ouu 


+ 0.00» 


5.-14 


0.0000 


— O.OOOI 


+ 0.001 


— Ü.0O6 


6.-14 


0.0000 


+ O.ODOB 


- O.ooJ 


+ O.ois 


7.-14 


+ O.oooi 


- O.DOOJ 


+ 0.007 


— O.0S9 


a_i4 


3 0.0002 


4- O.ooiT 


— 0.01» 


4- O.09O 


9.-14 


-4- O.OOOI 
If 0.000. 


— 0-uosv 


4- 0.016 


— 0.18» 


10. - 14 


+ O.ooss 


4- o.si» 


11. - 14 


— O.oosi 


— 0.D09> 


- 0.10» 


— 0.*»o 


12.-14 


4- O.oot» 


+ 0.009» 


+ 0.»»i 


+ 0.*»i 


13. - 14 


- O.eoM 


- O.ooM 


— 0.»i9 


— 0.»st 


14.-14 


+ 0.00!. 


+ Ü.oou 


+ 0.1»4 


+ 0.019 


15. — 14 


- O.oooi 


- 0.0006 


— O.osi 


— O.oss 


16. - 14 


+ O.OOOI 


+ O.ooos 


+ U.oo» 


4- O.OIS 


17. — 14 


0.0000 


0.0000 


— O.oos 


- o.oos 


ia-14 


0.0000 


0.0000 


O.ooo 


+ 0.00. 


6.-16 


U.oooo 


0.0000 


— O.oos 


0.000 


6.-15 


+ 0-0001 


O.oooo 


+ O.oos 


O.ooo 


7.-15 


— Ü.ooo» 


O.oooo 


- U.oii 


- 0.00. 


8.-15 


+ O.ooos 


0.0000 


+ O.os» 


4- o.oos 


9. -15 


- 0.0018 


0.0000 


- 0.069 


0.000 


10.-15 


+ Ü.OüJi 


- O.oooa 


+ O.isi 


— 0.011 


11.-15 


— Ü.Ü041 


+ 0.0009 


- O.S08 


+ 0.0*7 


12. -15 


± §::::: 


r O.OOM 


+ 0.SS9 


- O.ii. 


ia-16 


+ O.üons 


- 0.»S8 


4- O-ii» 


14.-16 


+ O.ooaj 


3 o.ooas 


+ O.iu 


- 0.16. 


16.-15 


- 0.000,^ 


+ 0.0011 


— O.OSI 


+ O.oji 


16. — 16 


+ O.ooos 


- 0.0001 


+ 0.017 


- O.ou 


17.-15 


- 0.0001 


+ O.OOOI 


- 0.00« 


+ O.oos 


IR — 15 


0.0000 


0.0000 


+ O.oos 


- 0.001 


19.-15 


O.ooon 


0.0000 


- 0.001 


0.000 


a — 16 


0.0000 


0.0000 


0.000 


— O.oos 


7.-16 


O.ooou 


+ O.OOOI 


0.000 


4- 0.00* 


a-16 


Ü.nooo 


— 0.0001 


— O.ooi 


. - 0.01. 


9.-16 


0.0000 


-1- O.ooot 


+ O.oos 


+ 0.02S 


10.-16 


- 0.000. 


- 0.0009 


- O.OOT 


- O.os. 


11. - 16 


+ 0.0004 


+ O.ooie 


+ O.oss 


4- 0.09« 


12. — 16 


_ O.üo.o 


— Ü.ooii 


— O.oss 


- O.isa 


ia-16 


+ 0.00.9 


+ O.OOM 


+ O.io, 


+ 0.1*8 


14.-16 


- O.ooss 


— O.OOSI 


- 0.1S9 


— O.ns 


15. - 16 


+ 0.0019 


+ 0.0008 


+ O.ios 


+ 0.0*7 


16. — 16 


_ O.nooT 


_ 0.0001 


- 0.0*1 


— O.oii 


17. - 16 


+ O.OOOI 


+ O.ooos 


+ 0.009 


+ 0.008 


lft-16 


^ O.oooo 


^ O.oooo 


- 0.00* 


- 0.001 


19. - 16 


O.oooo 


0.0000 


+ 0.00, 


+ O.OOI 



Um die KoeffizienteB (i . *" . ') zu koDtrolliren habe ich £ = 0" gesetzt und 
bekomme dann 

/«("""' [Z> -/cos (e'-Fa) f ^, cob2£']""''=S}2((.»'.c)cosiV- S((.?'.s)eJntV( 



y Google 



Ich habe also zuerst die Summen '^.(i.i'.c) und X(i-i'.s) und darauf sowohl 
die linke wie die rechte Seite unter Annahme Ton e'=10' berechnet. 
m' a a*.m'iaY 

ain 1" J sin l"\Äi 

Direkt +99'7817 + 94'558 

Reihe +99.7816 +94.557 

Dadurch werden doch keine der Koeffizienten {i.O -s) oder (t . 9 . c) kon- 
troUirt. "Wir setzen daher e' = 0" und bekommen 

-^^,a"~'[i) ~/co9F + -^j]"^' = 1.\Y{i.i'.c)co»ie + S(i.i'.s) sin is\ 
Die Summen X{» . i'- c) und X(i .i'.s) werden zuerst evaluirt, wonach die 

linke 80 wie die rechte Seite für e=15' berechnet wurde. Die Rechnung gab: 
m' a a'.m'ia\' 

sin l"J sin l'lj/ 

Direkt + 124'3358 + 182!951 

Reihe + 124.3354 + 182.949 



Die vorigen Entwickelungen von -: — n- und -^— ./_) waren von der 
sralJ sinl'lj' 



-: — TTr^' V-il =2Z{t.j'.c) COS (t£ — iV) + 1!X(». *'. s) SIU ((£ — tV) 

sin 1 \d' 

Wir wollen sie jetzt in der folgenden Form schreiben: 

-^,a— H-\ = 2Z((i . »'. c)) cos {ie - i'g') + 2 1((t . r. s)) sin (ie - i'g') 
sin 1 \A' 

wo g' die mittlere Anomalie des Ktörenden Körpers ist. 

Folgende Relation existirt zwischen den Koeffizienten beider Entwic- 
kelungen : 



y Google 



((i : i' . c)) = (i . .' . c) P<r/' + (i . e' + 1 . c) P""!'"" + (i . i' + 2 . e) P""!'-"' + . . . 

+ {« . i' - 1 . c) P'-!""» + (i . i' - 2 . e) Psf" + ■ ■ • 
((i . i' . s)) = (i . i' . s) P'-p + (i . e' + 1 . ») P'r/"" + (i . i' + 2 . s) P'_-;'^" + . . . 

+ (i . i' - 1 . ») P'-f"' + (i: . i' - 2 . s) ?<-!'*" + . . . 



also 



P'-'"> = (l -£) IJJ> p<-'-»)= (_ i)«./i +^\ /<» 



Die r werden folgendermaseea beBtimmt: 

J'!-' = Ji«>.rf'.j4'...-p2' 



yt;' ', 



>!— + . 

1'.2".3" 



AIb Kontrolle dienen die Gleichungen: 



7|.._iLjl_ 



P, 



1 .(m + 1) 1.2.(»i + l)(m+2) 



1.2.3 .(i»+I)(m + 2)()»+8) 

-+00 

£ PS*)»! 



Zu bemerken ist, dass 

PS»_1; PS>~-X'; Pl"-0 filt I 



i 


log^S'. 


losJS 


log-f;? 


logj^ir- 


log^i? 


logiJJ 


1 


9.9!)9I4.^ 


8.S84JI* 


6.469 


4.4 






2 


9.9mii 


».essifii 


7.0TO4 


6.26 






8 


9.S9TS9IU 


8.8«U«IS 


7.4»»is 


B.60I 






4 


d'SS.sgoi« 


8.9S4)IAS 


7.s;ui 


6.161 


4.« 




& 


9.»»»5Mfl 


9.08O«l* 


7.B«**« 


6.47» 


4.9II 




6 


9.S907S1 


9.1SM88 


8.0119 


6.709 


6.97 




7 


9.»sim 


9.»aee.^ 






5.S4 




8 


9.»Mt90 


9.»I97S1 


8.1«94 


7.091« 


e.7fix 


4.16 


» 


9-»I«U49 


9.m89 


S.JToa 




5.97 


4.61 


10 


9.S740S 


9.STS0IJ 


8.4601 


7.a70 


6. IS 


4.6 


11 


9.M851 


9.*io; 


8-1411 


7,«9J 


6.1» 


5.0 


12 


9-»«s(9 


9.44SS 


8.6147 




6.4T 


5.3 


IB 




9.4i;t> 


8.66» 




6.61 


5.4 


U 


9'94H4 


9-Kaii 


8.744 


7.80» 


6.TS 


6.« 


15 


9.940S 


9.MI8 


8.60» 


7.89 


6.8J 


6.7 




9.9M 


9.)Sfi 


8.6» 


7.97 


7.0 


5.9 



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— 61.U94 


+ 17.17,1* 
-- 1.9788 


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+ 16.9S81 


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0,0039 


- 0,900 


— 0.040 


6. — 


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+ 


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+ 0.044 


4- U.OIJ 


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— 0.010 


- 0.00* 


8. — 




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+ 0.001 


9. — 




0.0000 




0.0000 


- 0.00. 


0,000 


- 10. — 1 




0.0000 




O.oooo 


+ 0.001 


0,000 


— 9. — 1 




Ü.üOOO 




0.0000 


0.000 


+ 0.001 


— a — 1 




O.oauo 




0.0000 


- O.ODI 


- 0.009 


— 7.-1 




O.ooüo 




O.oooo 


+ 0.003 


+ O.009 


— 6. — 1 




Ü.oooa 




0.0009 


— 0.006 


- 0,014 


— 6. — 1 


+ 


0.0009 


+ 


O.oou 


+ 0.090 


+ 0.069 


— 4. — 1 




O.ooij 




0.006J 


- 0.Ü6S 


— 0,98S 


— 8.-1 


+ 


O.o>» 


+ 


O.osii 


+ 0.198 


+ 1.191 


— 2.-1 




0. 0.103 




0.2188 


- 0.901 


- 5.488 


— 1.-1 




O.mo 


+ 


1.87.1.1 


+ 1.891 


+ 22.360 


0.-1 




a.itisjt 




12."8a7 


— 21.190 


- 94.049 


1.-1 




ii..Mi> 


+ 


56.8M.1 


+ H.9SI 


+284,599 


2.-1 




0.B.159 




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- 11. »s 


- 37.919 


a— 1 




0.1797 


+ 


0,69.14 


- 0.174 


+ 12,026 


4.-1 


+ 


U.0U8 




0.0741 


- O.HO 


- 2,586 


5. — 1 




0.007a 


+ 


0.01,11 


- 0.07S 


± i-z 


6.-1 


+ 


O.ooii 




0,00?« 


+ 0.090 


7.-1 




O.ono» 


+ 


O.oofli 


- 0.00« 


+ O.ojo 


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+ 


O.oool 




0.0001 


+ O.oos 


- 0..., 


9.-1 




O.oooo 




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- 0.001 


+ 0.001 


10.-1 




0.0000 




0.0000 


0.000 


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11.-1 




O.onoa 




0.0000 


+ 0.001 


+ O.OOl 


12.-1 




0.0000 




0.0000 


- 0.001 


0.00. 


— 7.-2 




0.0000 




O.oooo 


+ O.ooi 


O.ooo 


— 6.-2 




0.0001 


+ 


0.0001 


- 0.005 


+ O.O., 


-5.-2 


+ 


0.000» 




0.0001 


+ O.ojo 


- 0..., 


— 4.-2 




O.oou 


+ 


O.oou 


- 0.087 


+ O.O., 


- Ö.-2 


+ 


O.oios 




0.0059 


+ 0.S8S 


- o.„; 


— 2.-2 




O.OMS 


+ 


0.o»«s 


- 1.694 


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— 1.-2 


+ 


0.iai7 




0,07,« 


+ 7.107 


- o.i„ 


0.-2 




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0.B4S) 


- 26.86.1 


- O.oo. 


1.-2 


+ 


9.99»1 




l.s,isa 


+ 94.478 


+ 10.011 
T 66.,,, 


2.-2 




20.1957 




8. SSM 


- 166.758 


8.-2 


+ 


0.9SSS 




0.17B1 


+ 22.581 


- T.iii 


4.-2 




O.870S 




0.0,119 


I 8.061 


+ O.Mi 


5.-2 


+ 


0.04S7 


+ 


0.007S 


+ 1,699 


- o.„. 


6.-2 




0.0098 




0.00S9 


— 0,409 


— O.08S 


7.-2 


+ 


0.0018 


+ 


Ü.ooo« 


+ 0.091 


+ 0.00, 


a — 2 




0.0009 




O.oooa 


- 0.0»! 


- 0.00* 


9.-2 


+ 


0.0001 




0.0000 


+ 0.005 


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10.-2 




0.0000 




0.0000 


- 0.001 


- 0.001 


11.-2 




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0.0000 


+ 0.001 


O.ooo 


— 6.-8 




0.0000 




0.0000 


+ 0.001 


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— B.-8 




0,0001 




O.OOOI 


- 0.005 


- 0.00. 


— 4.-8 

- 8.-8 


+ 


0.000* 


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0.0009 


+ 0.011 


+ O.o.r 




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O.OOII 


— 0.017 


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0.0011 


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b) 


11. - 13 

12. — 18 


+ 0.018» 
- 0.0140 


-1- O.ooiü 
^ 0.004. 


±S::" 


4- O.sai 


la-lH 


+ 0.004S 


- O.00I6 


+ O.as* 


- 0.00» 


14. ~ 13 


- O.ODU 


- o.oooe 


— 0.090 


- O.oaa 


16. -IS 


+ 0. 000.1 


4- O.OOOI 


+ O.ois 


4- 0.000 


16. - 13 


— O.oooj 


- Ü.oooi 


— O.007 


- O.oos 


17. — 13 


O.OODO 


O.oooo 


4- 0.003 


4- 0.001 


la — 13 


0.0000 


0.0000 


O.ooo 


- 0.00, 


4.-U 


0.0000 


0.0000 


— O.ooi 


4- 0.001 


6.-14 


+ 0,0001 


0-0000 


4- O.oos 


- O.ooa 


6.-14 


- O.ooos 


+ 0.0001 


- 0,ou 


4- O.oos 


7.-14 


+ 0.0008 


— 0.0001 


4- O.oj.'i 


— 0.013 


a-14 


- O.oois 


- O.oooa 


— O.OJ» 


4- O.0J7 


ö. — 14 


+ O.ooH 


- O.OOIT 


4- O.ui 


— 0.098 


10. - 14 


— O.ooio 


+ 0.0044 


— O.sas 


4- 0.as7 


11. — 14 


+ O.OOH 


— O.öoss 


4- O.m 


- 0.409 


12. - 14 


- 0.001. -i 


+ O.oui 


- 0.061 


4- U-«5 


13. -14 


— O.ooso 


— 0,0071 


- 0.08» 


- 0,H5 


14.-14 


4- O.oooe 


+ O.oos» 


4- 0,041 
+ 0,008 


4- O.ias 


16. - 14 


- - 0.0008 


- 0,0010 


— O.osj 


16. — 14 


- - 0.0001 


+ 0.0002 


- O.ooi 


4- 0,on 


17. - 14 


0.0000 


0.0000 


4- O.ooi 


3 0,004 


la — 14 


O.oouo 


0.0000 


- 0.001 


4- O.ooi 


4.-16 


0.0000 


0.0000 


0.000 


4- 0.001 


5.-16 


0.0000 


O.oooo 


— 0.001 


- o.ooa 


6.-16 


0.0000 


+ 0.0001 


+ 0.001 


4- 0.004 


7.-16 


- 0.0001 


- 0.000» 


- 0.004 


- 0.013 


8.-16 


+ 0.0001 


+ 0.0001 


+ O.Ol» 


4- 0.038 


9.-16 


-- O.ooos 


- O.ooli 


- 0.0»4 


- 0.OS8 


10. - 16 


+ O.oois 


+ 0.0019 


4- 0.085 


4- O.ioa 


11. - 16 


— O.oosa 


- O.OOKB 


- 0,179 


- O.iss 


12. — 16 

ia-15 


±?= 


+ O.ooa» 
I O.oooa 


± l'Z 


4- 0.101 

\- 0.010 


14. - 16 


+ 0.008S 


I 0.0010 


+ O.isJ 


— 0.07« 


15. - 16 


- O.ooii 


+ O.ooofi 


- 0.070 


4- O.oss 


16. - 16 


+ 0.0007 


0.0000 


4- 0.OS3 


- 0.004 


17. — 16 


— 0.0001 


0.0000 


- 0.00» 


4- ü.ooi 

\- 0.001 


la - 15 


0.0000 


0.0000 


4- o.oos 


19.-18 


0.0000 


0.0000 


- 0.001 


0.000 


6. — 16 


0.0000 


Ü.oooo 


4- O.OOI 


0.000 1 


7.-16 


— 0.0001 


+ 0.0001 


- O-oo» 


+ 0.001 ; 


&-16 


+ o.ooos 


- 0.0001 


4- 0.00» 


- 0.004 1 


9. — 16 


— O.ooos 


0.0000 


- 0.018 


4- 0.011 


la — 16 


+ 0.0009 


- O.ooos 


4- O.oss 


- 0.039 ' 


U.-16 


— O.OOlB 


+ 0.0011 


- O.osi 


4- U.08S 1 


12.-16 


4- 0.0017 


- O.ooas 


+ O.oss 


— 0.19) 1 


18.-16 


- 0.0007 


+ 0.00S7 


- 0.006 


4- 0.170 1 


14.-16 


- 0.0008 


— O.oois 


- 0.004 


— Ü.14T ' 


15.-16 


+ 0.001. 


+ O.ooiJ 


4- 0.075 


4- 0.0S3 1 


16. — 16 


- 0.000» 


- 0.0001 


— 0.OS9 


- O.ou ! 


17. - 16 


+ O.oooi 


+ O.oooa 


4- 0.000 


4- O.OQO , 


18. - 16 


0.0000 


0.0000 


3 o.oos 


- o.ooa ! 


19. " 16 


0.0000 


0.0000 


0.000 


+ 0.00, 1 



y Google 



46 

Um die ((» . «" . ')) zu kontrolliren, schreibe ich 
2((i . i' . c)) = Y(i .i'.c) Pzp + S(i . i' + 1 . c) P<-J'-" + . . . 

+ 5;(i.i'-l.c)i"_-f *"+... 
oder 

!((/ . ?' . c)) = P'_"/' . I('.)"'. c) +P*-!'"" . I(i - i' + 1 . e) + . . . 
+ J"--'''*".S(i.i'-l.c) + ... 
wodurch 

'Z{{i.k.c))^Y.\p'{\Zii.i'.c)\ 
analog bekommt man 

wodurch man also eine Kontrolle für jedes i' (oder k) erhält. Eine andere Kontrolle 

habe ich durch Berechung von —, — „-, und . ' „ /-) für c= 15' ff' = bo- 
sin VA Bin V \AI 

wohl auB den Entwickelungen in Reihen wie aus der gescIüoeBenen Funktions- 
form erhalten. Das Resultat dieser Rechung ist: 



tn a 
sin 1"J 



1 \'\a] 



Direkt + 124.3358 + 182.951 

Reihe + 124.3354 + 182.946 



y Google 



aä- 


m' a 
smV'A 


-(S) 


f = 


28ml" \a) 


fz^ 


m' 
sin 1" 


-Q 



Die nächste Aufgabe wird jetzt aü, or — und a*— = zu berechnen, für 
welche folgende Qleichungen gelten: 



MBin7.^8in(/' + ir') + (?) 



a* Bm 1 \ > J a 

H= 008 (/+ TZ) 008 (/' + W) I- cos /sin (f+E) »in (/' + i7') 

(^) — r^ ™ ^ • (^)' »" (•^+ ^'' 

hlf.\'-l.{L]\-Uh'-- ^f +2.^oose-2.^oo8äE- 
2U0V a'U/( 2 4 2a' 2o' 8a' 

- -s • -^ — r cos m,y 

-i -,Bml8ili(/'+i7')-+3eV,-2.2 -(I^f" - I'').'") c, cos {- mi/) + 

+2.1 iffi- " + nV ") <:, «in (- "•!'') 



1 . , . rr> 

wo c, = — sm i 008 9> 008 7/ 

1 ■ 7 ■ TT. 

2o 
oder mit zu Koeffizienten numerisoh: 

l{Ö'-i|!;\'j = [9.5605120] + 2. [8.4303643] cos e + 2. [7.126464.] cos 2c + 
+ 2 . [8.384714.] oosj' + 2 . [6.468314.] cos 2/ + 
+ 2 . [4.85292.] ooe 3/ + 2 . [3.3625.] cos 4j' + 
+ 2 . [1.94.] 008 sy + etc (a) 



y Google 



48 

- 1 ^ sin /.sm(/' + J/') = [7.8720455] + 2 . [8.7086677.] cos (- <;') + 

+ 2.[7.093212.]cos(-2/)+2.[5.65386.]cos(-3y)+ 
+ 2. [4.2883.] cos (-4^) + 2 . [2.96.] cos (- 6j') + 
+ 2. [8.4369434] sin (-/) +2. [6.821573] 8in(- 2/)+ 
+ 2.[5.38228]ein(-3.(;') + 2. [4.0168] sin (- 4^ + 
+ 2. [2.69] sin (-5^) (b) 

In Reihen entwickelt sind die (S) nnd (/): 

(S) = | (''7. -*'«»«(-£- /) +|('7,-i'«8in(-£- g') 

— ehyi cos { — ff') + etöi sin ( — g') 

+ l{hy, + h'd,)cm(+e- g'] - i ('/, + M,) sin (+ e - .;') 

+ I (Vi - W.) «OS (- « - 2/) + 1 Cr. - M.) «1 (- e - 2/) 

-c»yjCos( -2j') +fM, sin( -2g') 

-h i (V. + *'i5.) cos (+ E - 2^) - 1 yy, + M,) sin (+ £ - 2/) 

+ etc. + etc. 

(/) = + i>, c08(- «■) +M, sin(- g') 
+ b'y, cos (- ig') + M, sin (- ig') 
+ i'y, 008 (- 3/) + M, sin (- 8^) 
+ etc. 

wo Ä = — —-. — -,^ A cos iU— IC) h' = ^ ;, cos o) cos ö)'. Ä:, cos (77— iT.) 

a' Bin 1 a* sin j" ^ ^ 

l = ; — ^ cos ffi . Ä sin (77— ir) f = -. — 5 cos o)' . h sin (7f — iT,) 

a* sin 1 o* sin 1 

6 = — ^;-^ — -j co8ffl'8inIcos7r y„,= m iil^VT'^— J^*" | 
a* sin 1 ( mx «X i 

S' = — ^'-^ sin Isin 7?' cS.= •» I Cj"" + -f|:i' "I 

a' sin 1" - I -x .^ 1 

In den folgenden Tabellen sind die numerischen Werte der Koeffizienten 
dieser Reihen angegeben. 



y Google 



e 9' 


(-ff) 


(■f) 1 


CO« 


oin 


CO« 


ain 


— 1.-1 

0.-1 

I.-1 


+ 

+ 


O.STS» 
2.2609 
10.80JO 


+ 0.»JM 
1 10.M44 

+ eo.M.o 


+ 10.4(lä 


■ - 5. «06« 


— 1.-2 
0.-2 
1.-2 


+ 
+ 


O.OS.%8 

O.iiaa 

1.047S 


t "^ 

+ 4.9441 


+ l.ulM 


- 0.5417 


-1.-8 


+ 


0.004« 


+ O.oo;» 






0.-3 
1.-8 


+ 


O.oiis 

O.oesj 


+ o:404« 


+ O.osia 


- O.044S 


-1.-4 


+ 


0.0004 


+ 0.000« 






0.-4 
1.-4 


+ 


0.0014 

0.00(11 


— 0.oo«s 
+ O.osio 


4- O.00B4 


- 0.0014 


-1.-6 

0. — 6 

1. — 6 


+ 


o'.oooi 

O.ooos 


0.0000 

— 0.0005 

+ o.ooa. 


+ O.ooos 


- O.OOO» 


-1. — 6 
0. — 6 
1." 6 




0.0000 
0.0000 
0.0000 


0.0000 

O.ouoo 

+ O.oooa 







Wir bezeichnen eine beliebige der Quantitäten ofi, ar — und a*-^ in 
Reihen folgendermaBSen: 

J^ = X2((i . i . c)) 008 (ie - Hg') + S2((t - i . s)) sin {is - i'g') 
In der nächsten Tabelle sind die Koeffizienten ((» . i' . ',)) numerisch an- 



B ff- 


iaü 




-S 


CO« 


.i„ 


oo. 


»in 


OOl 


«u 


0. 

1. 

2. 

8. 
4. 
6. 

6. 

7. 

a 

9. 

10. 

11. 

- 7.-1 

- 6.-1 

- B.-1 

- 4.-1 

- a-1 


- S.70M1 

± §:;;;;• 

+ 0.09SO 

- 0.0J15 

± S::;: 

0.0000 
0.0000 
0.0000 
O.oooo 

0.000 

+ lz 
± S;::: 


+ 0..1.1. 

+ 0.OSO4 

- O.OIIO 

+ §::::; 

0.0000 
0.0000 
0.0000 
0.0000 

O.ooo 

±§:r 


+1 . ae.iiü,. 

- lO.ojao* 

± ?:;::;' 

+ 0.1741 

- 0.0407 
+ 0.0081 

- O.ooao 
+ O.OOOä 
-\- O.oooa 

0.0000 

- O.oooi 

+ O.ooi 

- 0.001 

+ 0.009 

- 0.0S4 
+ 0.11« 


— 0.0<4!.( 
+ 1.4«SS9 

- ü.aas» 

+ 0.0941 

- O.oaaa 
+ 0.00(1 

- 0.001« 

+ 0.0004 

— O.oooa 

+ S;= 

O.ooo 

— -O.ooi 

+ S;:i: 

+ 0..., 


-l.. ...... 

+ 4.9087T 

— 0.18TOO 

± S::::: 

+ 0.0I«8 

— 0.0040 
+ 0.0010 
1 0.0001 
+ O.oooa 

— 0.0001 
0.0000 

0.000 

— O.ooa 

+ l:Z 

+ 0.18» 


-14.T9M7 
+ 1.971»« 

- 0.S4I8 

+ O.iaji 

- 0,oai4 
+ 0.00(0 

- O.ooia 
+ O.OOOI 

0.0000 
+ 0.0001 

- 0.0001 

- 0.001 
+ O.ooi 

- 0.00« 
+ O.oaa 

- 0.086 



y Google 











91^ 




3ü 


£ <j' 




Iß 




3? 




ein 


- 2.-1 


+ 0.100 


+ 0.j,w 


— 0.SS9 


- l.IO« 


— 0.745 


+ 0.4.) 


- l.-l 


- O.SM 


- 0,90» 


-t- 1.4.11 


+ 8.««.i 


+ 3.140 


- 0.4.1 


0,-1 


Ü.OOD 


0.000 


-- 0.4J4 




- 9.111 


+ 5.«14 


1. — 1 


\- 0.71» 


+ 5.87.'i 


-- 2.B«I 


+i9:!ä5 


- 1.497 




2,-1 


3 8.<41 


-t- 0.6S7 


- 6. »41 


+ 9.180 


+ \\ix 


a-1 


I O.sje 


+ l.»os 


- 0.SÜ2 


+ 2.80« 


- 1.1,12 


- 0.10» 


4.-1 


+ O.os» 


- 0.»»« 


+ 0..a4 


- O.MI 


+ 0,381 


+ 0.166 


5.-1 


- O.OM 


-1- Ü.07S 


— 0.060 


+ 0.1»6 


- 0,079 


- O.0J8 


6.-1 


+ 0.U07 


- 0.0.7 


+ O.Ol) 


— 0.02» 


+ 0,0.7 


+ O.Ol. 


7.-1 


- O.ooa 


+ 0.004 


— 0.004 


+ 0.006 


- 0.004 


- 0.008 


8.-1 


+ 0.001 


- 0,001 


+ 0.001 


- 0.001 


+ O.OOI 


+ 0.001 


9.-1 


0.000 


0.000 


- 0.001 


+ 0.00. 


0.000 


0.000 


- a-2 


+ 0.001 


- 0,001 


— 0.001 


+ Ü.00. 


+ 0.00. 


+ 0.00. 


- 5.-2 


— 0.002 


Ar 0.003 


+ 0-004 


- 0.001 


— 0-002 


- 0.001 


- 4.-2 


+ 0.007 


- 0.004 


— 0-01 J 


+ 0.01, 


+ 0.0.0 


+ O.oia 


- 3.-2 


— O.osi 


+ 0.017 


+ 0.07« 


- 0.0,10 


— 0.0S6 


— Com 


- 2.-2 


+ 0,10» 


— 0.0.1! 


- 0.»a4 


+ O.iM 


+ 0.1.6 


+ 0.»i9 


- 1.-2 


- 0.»6(i 


+ 0.170 


+ Hol 


- 0.7iO 


— 0.604 


- 0.9» 


0.-2 


0.000 


0.000 


- 5.9«r 


+ 8,0.0 


+ 2-004 


+ 4.«7B 


1.-2 


+ Ö.»17 


- 3.0S9 


+ 21.721 




-10-60. 


-11.718 


2.-2 


-41.1»! 


+ 17.1,T 


-46.9J9 


+18:"» 


+ 2-»»» 


- 1.9).'i 


a.-2 


+ 2.88« 


+ 0.s,s 


+ 4.8s,i 


+ 0,80» 


+ O.si» 
+ O.o«o 


+ 6.4S7 


4.-2 


- l.tsi 


- 0.201 


- 1,997 


— 0,101 


— Ü.SSl 


5.-2 


+ 0.3U 


+ O.oas 


+ 0.S41 


+ 0,0«« 


— 0.080 


+ 0.S51 


6.-2 


- 0.o.^^ 


- O.oai 


- 0.090 


- 0.os,i 


+ 0.0.4 


— o.oso 


7.-2 


+ O.ou 


+ 0.004 


+ 0,o»o 


+ 0.008 


- 0.00« 


+ 0.012 


a-2 


- 0.00» 


- 0.00» 


- O.oos 


- O.OOJ 


+ 0.00. 


— 0.001 


9.-2 


+ O.ooi 


0.000 


+ 0.00. 


+ 0.001 


0.000 


0.000 


- 5.-3 


±te 


+ 0.001 


— 0.001 


- 0.001 


— 0.001 


+ 0.00. 


- 4.-8 


- 0.00» 


+ 0.00.. 


+ O.ooi 


+ 0.004 


- 0.001 


- 8.-3 


+ 0.00.1 


+ 0.008 


- 0.018 


- 0.021 


— 0.016 


+ 0.011 


- 2.-8 


- 0.015 


- O.oso 


+ 0.068 


+ 0.10» 


+ 0.011 


- 0.048 


- 1.-8 


+ O.oos 


-|- 0.09S 


- 0.9S8 


- 0-4.15 


- 0.S4» 


+ 0.190 


. O.-B 


^ 0.000 


^ 0.000 


+ 0.710« 


+ 2.03«9 


+ l.mi 


~ 0.,%7.1fl 


1.-8 


+ 0.U.1S 


- 2.1JJ.1 


- 1..1flT« 


- 6.8SS1 


— 4.9204 


+ 1.7«7« 


2.-3 


- O.sooi 


+ 12.8S0J 


+ 3.8701 


+ 19.998« 


+ 5.HS2 


- 7.9S9I 


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— O.oio 


+Ü006 


— O.oii 


-}-Ooos 


-1-0.00» 


15. — 12 


-0 


aus 


+0 




-0 


oos 


+0 




-0 




-0.001 


16. ~ 12 





000 


-0 


ooi 


+0 


001 





OOÜ 





000 


O.oüo 


4.-13 





000 





000 


-0 


001 ■ 


— 


001 


-0 


001 


4-0.001 


6.-18 







+0 




+0 




+0 




+0 


ooa 


Zü.oos 


6.-18 


-0 


001 


-0 




-0 




-0 




—0 




+0.oo.'s 


7,-18 


+0 




+0 




+0 




+0 




-fO 




-0.011 


a-13 


-0 


OlS 


—0 




-0 


042 


--0 


OS« 


-0 




-l-O.oaf 


9.-13 


+0 


0.^0 


+0 




+0 




+0 




+0 




-0.0» 


10.-18 


-0 


1!7 


—0 


106 


-0 




-0 






-1-0.070 


11.-13 
12. - 18 


+s 




+0 
^0 




+0 
—0 


1«! 




0S4 


-0 
+0 


Ösa 


-0.040 

—0.00» 


13.-13 


+0 




-0 




+0 




-0 




—0 


004 


-1-0.010 


14.-13 


-0 




-0 




-0 


0!« 


—0 




+0 




— O.oos 


16. - 18 


+1 


ooa 


+^ 


003 


+^ 




+R 


00 n 


-0 


001 


-l-O.oos 


16.-18 


—0 


o*> 


—0 


oos 


—0 


00» 


_0 


001 





ono 


-0.001 


4.-14 


+0 


001 





OOü 


-0 


ÜOl 





OOÜ 





000 


0.000 


6.-14 












+0 




-0 




-0 




-Ü.ooi 


6.-14 


— 




+0 




— Ü 




+0 


00» 


-HO 




-1-0. ooa 


7.-14 
ft-14 


±s 


004 
Ol» 


-0 
—0 


oos 


±s 


uio 


-!-0 

+0 


on 


—0 




-0.004 

-1-0.007 


+0 


011 


9.-14 


+0 




-0 




+0 




-0 




-0 




-0.009 


10. - 14 


Zo 




+0 




-0 




+0 




+0 




+0.OOJ 
lo.ou 


11. - 14 


+0 




-0 




+0 




-0 




—0 




12.-14 


-0 




+0 


ISl 


-0 




+0 




+0 




-O.oi« 


18. - 14 


-0 




-0 




-0 




-Ü 






-1-0.015 


U. - 14 


+0 




+0 




ts 


ois 


+0 


ois 


Zu 




-0.001 


16. - H 


--0 




-0 






Zo 




+0 




0.000 


16.-14 


- -0 


»Ol 


+0 


003 


—0 




+0 




Zo 




—0.001 


17.-14 










uoo 


+0 


001 


3o 


001 





000 


0.000 


5.-15 





000 





000 





000 


-0 


001 





000 


0.000 


6.-15 





000 


+0 


001 


+0 




+0 









-0.001 


7.-15 


-0 




—0 


001 


-0 




-0 




— Ü 




-1-0.001 


6.-15 


+0 


001 


+0 


001 


+0 




+0 




+0 




-0.004 


9.-16 


—0 




—0 




—0 




--0 




Zq 




-1-0 009 
—O.Ol« 


10. - 15 


+0 


Ol» 


+0 


019 


+0 


oaa 


+0 


mf- 


ts 


004 


11. - 15 


—0 




-0 




—0 




-0 






-l-O.oas 


12. - 15 
18. - 15 


±s 


010 


ts 


02« 


±s 


09a 


t§ 


oo! 


Zo 

+0 


ol! 


-0.0»» 

-1-0. 007 

-1-0.00» 


14. - 16 


+0 




-0 


osi 


+0 




-0 




-0 




16. - 16 


-0 




+0 




-0 




+0 




-0 




—0.003 


16. - 16 


+0 









+0 




-Ü 




+0 




-l-O.ooi 


17. - 16 


-0 


001 







-0 




+0 









0.000 


18.-16 





000 





000 


+0 


001 





000 





000 


0.000 


7.-16 


—0 


001 


+0 


001 


-0 


DOI 


+0 


001 


+ü 


001 


O.ooo 


8.-16 


+0 




-0 




+0 




-0 


ooa 


Zo 




-ü.ooi 


9.-16 


-0 









-0 




+0 




+0 




-l-O.oo» 


10. - 16 


+0 


DO» 


-0 




+0 




-0 




Zo 




Zo.oo» 


11.-16 


-0 




+0 




-0 


Oll 


+0 




+0 




4-0.001 

^0.004 


12.-16 


+0 




-0 




-1-0 




-0 


0S8 


Zo 




13. - 16 


-0 




+0 






+0 




+0 




-0.011 


14.-16 


—0 




-0 




—0 




-0 


04S 


Zo 




-l-U.oii 


16. — 16 


+0 


OSO 


+0 




+0 




+0 




+0 




-0.00* 


16. - 16 


-0 




-0 




-0 




-0 


00) 


Zo 




-1-0.00» 


17. - 16 


+0 


oos 


+0 




+0 




+0 







000 


-O.ooi 


la — 16 





000 





000 


_o 


001 


--0 


001 





ODO 


0.000 



y Google 



Die Kontrolle der vorigen Koeffizienten ist folgendermassen auBgefiihrt. 
Erst habe ich die mekanischen Multiplikationen dadurch geprüft, dass ich die 

verschiedenen Koeffizienten in der Entwickelung von ^H—A ~—^i-] \ "^^ 

-- Bin i. — sin (y' + //') mit den Summen Y({i.i'.';i) aus der Entwickelung 

a a t 

von ~--a' l-l für jedes i' multipHcirt habe und damit die Summen der 
sin 1 \JI 

entsprechenden Glieder in 



--■— .,.« h; -sin /.-.sin (/' + //) 
sin l \AI a a 

für jedes i' verglichen, welche Prüfung vollständig stimmt. Danach habe ich 

ar — . und a'— für £=15" fl' = 0* teils direkt teils durch Reihen berechnet 
dr 5Z 

und als Resultat dabei bekommen: 

ar- - a' — 

3;- dZ 

Direkt - ig'ölS - It'sIG 

Reihe - 19.531 - 17.808 

Dieiielbe Rechnung habe ich auch für 6 = 0" und g' =~ Ib" ausgeführt und 

ergab sich daraus: 

nr— « — F, 

dr dZ 

Direkt - Is'ßSO + s'tOö 

Reihe - 13.664 + 3.723 

Diese Kontrolle stimmt nicht so gut, wie ich erwartet habe. Da ich einen 
Fehler in den Koeffizienten der Reihen (a) und (b) Paragraf (8) vermutete, 
habe ich sie dadurch kontroUirt, dass ich sowohl die linke wie die rechte 
Seite von (a) für e— 15", /^O", von (b) für ^=15° berechnet habe. Das 
Resultat war: 

für (a) (b) 

Direkt + 0.3641258 - 0.1083941 

Reihe +0.3G412G1 -0.1083942 



y Google 



55 

Auch die (H) und (/) sind auf derselben Weise für e = 0" und^r'^ 15" 
kontrollirt: 

(H) (/) 

Direkt - 3"426 +]2!824 

Reihe -3.426 +12.824 

Da auch hier kein Fehler vorliegt, ist es mir unmöglich den etwaigen 
Fehler zu entdecken. Dass die vorigen Kontrollen viel besser stimmen, beruht 
sehr wahrscheinlich auf der Ursache, dass ich da immer die Rechnung mit 
einer Dezimale mehr ausgeführt, als ich nachher angesetzt habe. Hier habe 
ich aber nur mit drei Dezimalen gerechnet, und kleine Fehler in der letzten 
Dezimale können sich leicht in der Kontrolle gehäuft haben. 



9. 

Nachdem jetzt die Störungsfunktion und die partiellen Differentialquotien- 
ten derselben entwickelt sind, wird die nächste Aufgabe das Argument g' 
gegen fite zu vertauschen. 
Schreiben wir 

F = 25!((».i'.c)) <:oB{i£ — i'!/') + !E£((i .i'.s)l sin {ie— i'ff') 
und 

J' = SZ[i . i' .c]cos{Je-i'V\ + 1,1.[i . i' .s] sin {ie-i'V) 
y= c' — ßic+fis 
90 besteht folgende Relation zwischen den KoefÜzienten der beiden Ent- 
Wickelungen: 

[i .V .^,] = [{i .r .:)) ii:i+(ii- 1 .r .'.)) . il}l + i(i-2 .i' .1)) . i^fl + . . . . 

-((z + 1. i'. :)).Zi!i+((t + 2. t'. :))./',?]-.... 
wo 

Die I-Funktionen sind aus den im Paragraf (7) angegebenen Formeln be- 
rechnet. Die folgende Tabelle giebt eine Zusammenstellung dieser Funktionen. 



y Google 



i' 


logi?l 


logA'^l 


iogi;?i 


logi?l 


logl?! 


Hl% 


1 


9.a»»334 


8.41S0 


6.94 


4.9 






2 


9.»S7iJ 




7.44S 


fi.8 






» 


9.»»4.M0I> 


9.a4«s.'>6 


7.79.195 


6.370 


4.61 




4 


9.»»oSi 


9.1«I9.S 


8.014 


6.74 






6 


9.mi3i 


9.1I«3«S8 


8.19638 


7-OII5 


6.70 


4.., 


6 


9.9T7» 


9.13» 


8- 393 


7.J7 






7 


9.»fiSH 


9.m 




7.47 






8 


9.9so)i 


9. 4 im 


8.6367 


7.636 


6.31 


6.» 


U 




9.501 


8.74 


7.T» 






10 


9.951 


9.*« 


8.8S 


7.9S 






11 


9.m 


9.578 


8.90 


8.0 






12 


9. SOS 


9.607 


8. 97 


8.13 






18 


9.8B1 


9. es« 


9.04 


8.3 






14 


9.8T» 


9.e.'>8 


9.10 


8.3 






16 


9.8S 


9.68 


9.IB 


8.43 






16 


9.11] 


9.ro 


9.10 


8-3 






17 


9.8(. 


9.T« 


9.3 


8.« 






IH 


9.8 


9.7 


9.3 








19 


9.T 


9.r 


9.3 









Mit Hülfe dieser Werte von I habe ich die [i .i' . c] und \i .i' . s] be- 
rechnet, und die folgende Tabelle stellt das Resultat dar. 



= 













Q 


,da 1 


E 


V 




Q 




ar 


5? 

Bin 


"ä 


z 


0. 









+!■ 


36.19099 




-^.4.13304 




1. 





- S. 70331 


-V- 0.01716 

4- Ü.«i74a 




10.07904 


— 0.06496 


4- 4.90677 


-14.79BBT 


2. 





+ 2.11173 


+ 


8.66607 


+ 1.46399 


- 0.18700 


-(- l.»7m 


3. 





- 0.38M 


- 0.0B31 




0.7667 


— 0.9939 


+ 0.998» 


- 0.3486 


4. 





+ 0.0910 


+ D.0S04 


-f- 


0.1741 


+ 0.0943 


- 0.04»» 


+ 0.1991 


6. 





- Ü.oi.i 


- 0.0.10 




0.0407 


^ O.oaaa 


-i- 0.0168 


— 0.09S4 


6. 





+ Ü.o04fl 


-1- 0.0030 


-1- 


0.0087 


+ 0.0031 


- 0.0040 


+ 0.0060 


7. 





- O.oou 


— 0.Ü007 




O.ooao 


- 0.001« 


-1- 0.0010 


- o.oou 


8. 


Ü 


O.DOOO 


0.0000 


i 


0.0003 


+ 0.0004 


— 0.0003 


+ O.oooj 


9. 





Ü.oooo 


0.0000 


0.0009 


- O.oooa 


-1- o.oooa 




10. 





0.0000 


0.0000 




O.oooo 


+ 0.000. 


- 0.0001 


+ oioÖot 


11. 





0.0000 


0.0000 


— 


0.0001 


0.0000 


0.0000 


- 0.0001 


- 7. 


_1 


ü.ooo 


Ü.ouo 


+ 


0.001 


0.000 


0.000 


— 0.001 


— 6. 




+ O.ooi 


+ Ü.ooi 




0.D03 


— O.ooj 


- 0.009 


4- 0.00» 


- 6. 




- O.oos 


3 0.006 


+ 


O.oio 


+ 0.014 


-f- 0.008 


- 0.007 


— 4. 




4- 0.O16 


+ 0.031 




0.U3» 


- 0.063 


- 0,044 


+ 0.099 


- 3. 




- o.oos 


- 0.1« 


+ 


0.030 


-1- 0.980 


+ 0.919 


— O.ioi 


- 2. 




+ 0.107 


-1- 0.486 




0.(37 


— 1.941 


— 0.8S8 


+ 0.481 


— 1. 




- 0.24S 


- 0.881 




1.491 


+ 3.979 


+ 9.*M 


— 0.607 


0. 




— 0.036 


- 0.956 




0.870 


- 9.707 




+ 6.760 


1. 




+ 0.710 


+ 6.996 




2.847 


+ 19..M3 


- 2!l99 


— 8.996 


2. 




+ Ü.7S9 


- 8.989 




0.893 


- 6.6UB 


-(- 9.348 


+ 1.08» 


8. 




- 0.310 


+ 1.78» 




0.777 


+ 2.609 


— 0.81« 


— 0.065 


4. 




+ 0.041 


- 0.930 


+ 


O.096 


- 0.419 


+ 0.340 


+ 0.16* 


6. 




— 0.03S 


+ 0.067 




O.o.'ie 


+ 0.109 


- O.O07 


— 0.099 


6. 




+ o.oos 


- O.ou 


4- 


o.ou 


- 0,094 


+ 0.014 


-i- 0.010 


7. 




— O.ooa 


+ 0.009 




0.004 


+ o.oos 


~ o.oos 


- 0.003 


8, 




+ 0.001 


- 0.001 


+ 


0.001 


- 0.001 


+ O.oo. 


+ 0.001 


9. 


-1 


0.000 


0.000 




0.001 


+ 0.001 


O.OOD 


O.ooo 



y Google 



e V 


iaQ 


"f 


-s 


CO» 


Bin 


ooe 


Bin 


cos 


Bin 


— 6.-2 


+ 0.00. 


- 0.001 


— O.OOI 


+ 0.001 


+ o.oo. 


+ 0-001 


— 5.-2 


— O.ooi 


+ O.oos 


+ O.oos 


— 0.004 


- o.oo. 


— 0.00* 


— 4.-2 


+ 0.009 


- O.ooi 


— 0.034 


+ 0.018 


+ O.Ol. 


+ 0,017 


— 3.-2 


— 0.0*0 


+ O.oj. 


+ 0..0» 


- O.OBS 


- 0.047 


- Ü.07. 


- 2.-2 


4- 0.1» 


— 0.08* 


— 0.44« 


+ 0.340 


+ 0.184 


+ Ü.s*» 


— 1.-2 


— 0.M8 


+ 0.1« 


+ 1.970 


- 0.94« 


- O.T70 


- 1..** 


ft-2 


- 0.810 


- 7.47» 


+ 3.49. 


+ 2. 74. 


+ 6.4*7 


1.-2 


+11. m 


- 4.1*« 


+ 24.67. 


- 7.8«T 


-10.561 


-11.1*1 


2.-2 


-40.M1 


+ 16.748 


-46.197 


+18.o»i 

+ 2.191 


+ 1.430 


- 8.»i. 


a — 2 


- O.osa 


+ 0.946 


-- 0.441 


+ 6.»73 


4.-2 


— 1.1»! 


— 0,09» 


— 1.81S 


- 0.191 


4^ 0.094 


— 0.»»9 


6.-2 


+ O.iii 


+ 0,0« 


+ 0.»06 


+ O.oso 


- 0.074 


+ 0.»»» 


6.-2 


— 0.0*9 


- 0,011 


— O.OTO 


— 0.01» 


+ O.OO» 


— Ooi* 


7.-2 


+ 0.0.0 


+ 0.00» 


-t- O.ois 


+ O.oos 


Z 0,005 


+ 0.00» 


a— 2 


— 0.00» 


— 0.00» 


- 0.001 


— O.oos 


+ 0.001 


— 0.00» 


9.-2 


+ 0.00. 


0,000 


+ O.ooi 


+ 0.001 


0.000 


O.ooo 


— 6.-8 


;- 0.001 


+ 0.001 


- 0.00» 


- 0.00» 


- 0.001 


+ 0.00. 1 


— 4.-9 


- O.oo» 


- 0.00. 


+ 0,007 


+ 0.008 


+ 0,008 


- 0-008 


— 8.-3 


+ O.UD« 


+ 0.0,3 


- 0.038 


— O.Ol« 


I 0.038 


+ O.o»o 


— 2.-8 


— O.OH 


- O.OIB 


+ 0.098 


+ 0.181 


+ O.us 


- 0-07. : 


— 1.-3 


+ 0.00. 


+ O.OT» 


— 0.H7 


- 0.7.1 


I 0.50» 


+ 0-»B0 1 


0.-3 


— O.oio* 


+ O.H»* 


+ 0.8711 


+ 2.880* 


+ 1.8419 


- 0.79«* 


1.-3 


+ O.0S9I 




— 1.9S8« 


- 9.0870 


I 5..S.8 


+ 2. ,177. i 


2.-8 


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uo 




--0 




+0 




-0 


DU 


lo 


033 


12.-12 


-0.004 




■0 


1«» 


4-0 


OO.'i 


-0 


037 


+0 




-0 




ia-12 


—O.oas 




■0 




-0 




+<* 




3-0 


00» 


-0 


001 


14. - 12 


-O.oos 




■0 


OSO 


-0 


001 


-0 




+0 




+0 




16-12 


— O.oos 




■0 




-0 


00» 







-0 







000 


ia-12 


-0.001 







+0 




+0 


00 1 










000 


17. — 12 




0.000 


- 


-0 


001 







000 







000 





000 





000 



y Google 











SQ 




3fl 


c V 


iaO 


ar 


3? 


■' 


SZ 




cos 1 Bin 


CO« 


sin 


CO. i -i- 


4.-13 


Oow 


-O.ooJ 


-0.001 


-0.00* 


—0.001 


+0.00. 


6. -18 


+0 




+0.000 


+0.008 


+0.011 


+0.00» 


-O.ooe 


fi.-13 


-0 


ooi 


-0.014 


—O.OII 


—0.0« 


—0.010 


+0-01» 


7.-13 


+0 




-!-0.0»6 


+0.010 


+0.011 


+0.015 


— 0-OlT 


a-18 


-0 


04» 


— 0.o<s 


^0.0»! 


- -O.rt« 


—0.011 


+0.010 


a-is 


+u 




+0.0»» 


+0.... 


- -0.107 


—0.000 


-0.0«. 


10. - 18 


-0 


IT» 


-0.07« 


-O.M» 


—O.OII 


+0.0« 


+0-011 


11. — 13 


-i-0 




— O.oii 


+0.m 


—0.007 


-0.011 


—0.00* 


12.-18 
13.-18 


—0 




+0.01. 
+0.o»o 


-O.OOI 
+0.0O« 


+0.1m 


+0.0O» 
+0.004 


-0.010 


-0 


Ol» 


+0.00« 


14.-18 


+0 


Ol» 


-O.oii 


— O.oii 


—0.011 


+0.001 


—0.00» 


16. — 18 


-0 




-0.00* 


O.ooo 


—0.004 


0.000 


+0.O01 


16. - 18 


+0 


oo» 


-O.ooi 


-O.OOI 


-0-001 


O-ooo 


—0.001 




-0 


Ml 


-0.001 


0.000 


0.000 


0.000 


0.000 


4 — U 





000 


0-000 


-0-001 


0.000 


0.000 


0.000 


6.-14 


+0 


00» 


0-000 


+0-004 


-0.001 


— O.ODl 


-0.001 


6.-14 


to 




0-000 


-0-01. 


+0.008 


+0.00* 


+0.001 


7.-14 


4-0 




-0.00» 


+0-01» 


-O.Ol« 


—0.011 


—0.00« 


a-14 


-0 


OJT 


+0.0.1 


— 0-ois 


+0.0K 


+0.0« 


+0.001 


9.-14 


4-0 


•40 


-0.041 


+O.OJB 


-0.0T4 


—0.014 


-O.OOI 


10. - 14 


-0 




+O.0SS 


— O-oj» 


+0.110 


+0.01. 


— O.oii 


11.-14 


ts 


oto 


-0.1»4 


+0.0M 


-0.14» 


—0.011 


+0.O10 


12.-14 


OJI 


+0.10» 


+0.o»i 


+0.U» 


-0.004 


— O-oi» 


18.-14 


-0 




—O.OII 


-0.0»4 


-O.ow 


+0.011 


0-000 


14.-14 


—0 


008 


+0.00» 


-o.oos 


+0.000 


-0-001 


+0.001 
4-0.001 


16. - 14 


Vo 




— O.ooJ 


+0.001 


-O.OOI 


0-000 


16.-14 


00 > 


-O.ooi 


+0.00S 
4-0.001 


-0.00» 


-O.oui 


0.000 


17. -U 


+0 


001 


+0.ooi 


0.000 


0.000 


0-0«) 







000 


0.000 


0.000 


+0.001 


0.000 


0-000 


6.-16 





ooo 


0.000 


0.000 


-0.00» 


0.000 


+0.001 


6.-16 







+0-oni 


+0.001 


+0.001 


+0.001 


—0.001 


7 16 


-0 




-0.005 


-0.007 


-O.Ol» 


—0.004 


+0.001 


8.-16 


+0 


007 


+0.011 


+0.014 


+0-011 


+0.004 


—0.00» 


Ö. — 16 


-0 




-O.Ol» 


-0.010 


—0.014 


—0.004 


+0.017 


la — 15 


+0 


OIT 


+0.0« 


+0.0*7 


+0.04» 


-0.00» 


— O.o»i 


11. — 16 


-0 


OM 


-O.OK 


-0.081 


-0.011 


+0.010 


+0.01» 


12. - 16 


+0 


07» 


+0.ooi 


+0.011 


0.000 


—O.Ol« 


—O.OOI 


13.-16 


-0 




+0.OH 


-O.oj» 


+0.0». 


+o;oo» 


—0.001 


14.-16 


+0 


ois 


3o.oi6 


+0.017 


-0-o»o 


+0-004 


16. — 16 


lo 


00t 


-0.004 


-0.004 


0-000 


—0.00» 


0.000 


16. - 16 
17.-16 


+0 


004 
O03 


-U0.001 
0,000 


+0.001 

+0.001 


-0-001 
0-000 


—0.001 
+0.001 


0.000 

+0-001 


ia~16 


+u 


001 


0-000 


0-000 


-O.OOI 


0.000 


O-ooo 


6.-16 





000 


0.000 


+0.001 


-O.OOI 


— O-ooi 


0.000 


7.-16 
8-16 


—0 




0.000 
— O.oos 


-0-001 
+0.001 


+0.001 

—0.00* 


+0.001 
-0.001 


+0.001 
—0-001 


+0 


001 


9. - 16 


-0 




+0.006 


-0-008 


+0.011 


+0.00» 


+0-00» 


10. — 16 


4-0 




-0-ois 


+0.011 


—0.0»». 


—O.OII 


—0,001 


11. - 16 


^o 




+0.0»» 


-0-00» 


+0.0« 


+0.018 


—0.001 


12.-16 


+0 




-0-0*9 


-0.00» 


—0.0*1 


— O.oio 


+0.010 


18.-16 


+0 




+0-044 


+0.01» 


+0.041 


+0.001 


— O.oii 


14. — 16 


-0 


oia 


-0.010 


-O.OM 


— O.ois 


0.000 


+0.000 


15. — 16 


+0 




—0.001 


+O.0O» 


-0.001 


+0,001 


—0,001 


16. — IG 


--0 




0.000 


4^0-007 


+O.0O1 
4-0.00» 


0,000 


+0.001 


17. - 16 


+0 


001 


+0.003 


-O.oos 


—0,001 


—0,001 


1& — IG 


-1-0 




0.000 


0.000 


0.000 


—O.OOI 


19.-16 





000 


+0.ooa 


-0.001 


—0.001 


0,000 


0,000 



y Google 



Um diese Quantitäten zu kontroUiren, mache ich folgende Summirung: 

S[i.,-.:]_S((i.i'.;))iifi+S((i-i.i'.:))7<;i+i((i-2.c.:))41+.-. 
-Z((i + i.i'.:))7;,'i+X((; + 2.i'. :))/-;!-... 

oder 

-7!!l.X((i.j'.;)) + i<?].S((.-.i'. ;))-... 

d. h. 

Sp ..'.:]- [rz+ 4'i+ 7?;+ 1;;] + ■ ■ ■ - j;'i+ iZ- ^;i+ ■ •] X«; . ;■ . :» 

also 

X[i .('.:]= [i;?' + 2z;!i + 2r;',+ . . j s«.- . ,- . ;» 

Erinnern wir um aber die Gleichungen 

cos (2i sin (p) - If + 2Jf cos i(p + 21^" cos 4?) + . . . 
sin (2* cos 9) - + 27"," cos 9> - 2/™ cos 8?) + . . . 
und setzen hier q7 = 0, so wird 

1-If +27f+2/;" + ... 
sin 2t = +2/;"-2i;" + ... 
also 

Ip.f.n-rdi.i'.;)) 

(Diese zwei Relationen zwischen den /-Koeffizienten sind als Kontrolle 
dieser Koeffizienten pag. (56) angewandt). 

Diese Kontrolle allein ist doch nicht völlig befriedigend. 

Die Berechnung von [i . e' . ^] ist nämlich folgendermassen ausgeführt. 
Für ein bestimmtes i' habe ich auf einer Zeile die ((t . i' . ^)) J,'?]^ für die ver- 
schiedenen i geschrieben, darunter auf der nftchsten Zeile die zugehörigen 
((i— l.i'.J)) Ifi etc-; wenn eine solche Zeile einen Schritt links oder c rechts 
verschoben ist, werden alle zugehörigen [; .('.*] falsch, und die Kontrolle kann 
doch vollständig stimmen. Um dies zu kontroUiren, habe ich noch eine Kon- 
trolle au^efiihrt. Für z == 3 und 9 habe ich die linke (Reihe) wie die rechte 
Seite (Direkt) der folgenden Gleichung berechnet; 



y Google 



«8 



S[t..-'.;]-X((.-.i'.n)f!?i+5:((i-i.i'.;))/i;] + S((i-2.t-.;)li™ + . 
-S((. + l.j'.:))/S + I((i + 2.,-.;))iS-. 

Folgende Tabelle giebt das Resultat dieser Kontrollen. 









^Ü 


,3Ü 




iaÜ 


"'"3? 


äz. 


Beihe 


Direkt 


Beihe 


Direkt 


Keihe 


Direkt 


i' 
1 

2 


+ O.ui 


+ 0.74« 


+ 4.41J 


^.... 


4- 0.4*0 


4- 0.481 


-SO. »16 


-90.9TJ 


-27.J18 


-27 




- 6 






3 


— 16.SR6» 


-16. BMI 


-14.7M5 


-14 


1717 


+ 




-- 0.TI41 


4 
6 

(i 
7 


f 2-1)2 


t 2.IM 


4- l-»»i 


4- 1 




-- 2 




-- 2.1M 


-1- 1-m 


hz' 


+ 4.I8IS 

4- i.u» 


-- 4 
-- 1 


1878 


— 


M»" 


-- 0.«806 

- O.ii» 


— O-ssa 


- 0.6S* 




- 




- 




— O.JB» 


ö 


— 0.S1S4 


- 0.S1S7 


— 0-4896 


- 




— 




— 0.014» 


9 


- 0.0»9 


- O.OJT 


- 0.0« 


- 


081 


Vi 




4- 0.048 

\. O.Ol» 
- O.ooi 


10 
11 
12 


+ 0,081 
+ O.OM 


+ 0.09J 
+ Ü.04« 


4- 0.084- 

T O.OST 


4- Ü 
+ 


D)8 


oöi 


— Ü.üo» 


- O.ooj 


— O.UOT 


- 




- 




- O.oos 


18 


— O.Ol» 


- Ü.0I9 


- O.oii 


- 




— 


001 


— 0.001 


14 
16 
16 


— O.oos 


— O.noi 


4- 0.001 


- 




- 




4- 0.00. 


+ 0.00« 


X 0.00. 


4- Ü.ooi 


+ 




— 




O.ooo 


0.000 


Ü.ÜOO 


Oooo 


+ 0.004 


4- O.oo. 


3 


-26.m 


— 26.ais 


-27.178 


—27.117 


-4- 8.11» 
+ O.it. 


4- 8.1U 
T 0.1» 


9 


- 0.484 


- 0.485 


— O.m 


— O.s« 


1 


+ Ö.«i 


4- 8.MJ 

4-U-8« 


+ 9.M1 


+ 9.107 

+14.».. 


4- ».m 


+ 8.411 


2 


+14.8SS 


+1* 




- 4.804 


- 4.80. 


B 


-11. sm 


-11.SS89 


- 9 




— 9.88(8 


— 4.718» 


— 4.7»». 


4 


- 9.81T 


- 9.8». 


- 8 


«88 




- O.ssi 


— 0..t4 


5 


- 0.8489 


- 0.84M 


- 




— I0.8S»« 


4- 0.9704 
I 0.47J 
- 0.04» 


4- 0.»498 


7 


+ 2.01. 
+ 0.»is 


+ 2.0t. 


tl 


"s 


4- 1-«»« 
4- O.«oo 


X- 0.47. 

- O.osi 


8 


- 0.iaa8 


- O-isai 


- 


0»40 


- O.09« 


— O.IM» 


— O.1140 


9 


- 0-ais 


— 0.»io 


- 




- O.m 


- 0.0»8 


- 0.010 


10 


- O.MJ 


— O.MJ 


- 


04» 


- 0.0« 


4- O.Ol» 


4- 0.014 


•11 


+ 0.844 


-1- O-sia 


- 




- O.oio 


4- 0.011 

-f 0.00» 

0.000 


4- 0.014 

- - 0.00» 

— o.oo» 


12 

la 


4- 0.»»« 

4- Ü.0I8 


- - 0.»49 
+ 0.088 


4- 
+ 


00» 


4- O-ou 


14 


— 0-no8 


. - 0.008 


- 


009 


- 0.00. 


— 0.001 


O.ooo 


16 


_ 0.01.1 


- 0.081 


— 




- O.oos 


4- 0.001 


+ 0.001 


16 


+ 0.001 


0-000 


4- 0.00. 


4- 0.00. 


- 0.004 


^ 0.000 


8 


-10.9.M 


— 10.9J0 


— 8.1S.1 




4- 3.701 


4- 8.«». 
4- 0.»86 


a 


— 0.»oo 


- 0.900 


- 


807 


- 


80» 


4-0 


»B7 



y Google 



68 



10. 

Nachdem die Rechnungen, welche sich auf die Entwickelung der störenden 
Kräfte beziehen, aufführt sind, haben wir die Differenzialgleicbungen zu 
integriren. 

Es sind 

^ = YL i(* .i'.c) cos O'e - tTj + ZT F(i.t". s) sin (ie - i'V) 
dt 

2— = 21 Q(i . r . s) cos (f e -i'V)-Z1, Q{i . i' . c) sin (ie ~ i' V) 
dt 

J_. ^=XSrr(e.i'.s) cos (te - i'F) -XSl^(i. i'.c) sin (le-i'F) 
cos i de 

nz = -Xl.Rii.i' .8)cm (i£ - i' V) + "1.1. R(i . i' . c)Bm (ie - i'V) 

2v= HS(t.i'.c)cos (ie - i'V) + YZ S(i . i' . s) sin (ie - i'V) 

-?L= 12F(t.i'.c)cos {(£ -i'V)+ 'L'I.r(i .i'.s) sin (ie - i'V) 
cos t 

j^. ., , F(i .i'.c)^ G(i +l.i' .c) ,E(i-l.i' .c) 



Q(i.i'.c) = 



m+1 m— 1 

G(i+1 .i' .c) _ H(i-l .i'.c) 
tn -I- 1 m — 1 



m+l m— 1 
Fli.f.c)-^I\i+l.i'.c)-^I\i-l.e.c) . 
ü(.-.*'.c) = 

S(.-.i'.c) -«'■''■" 
m 

m m + l tn~ l 

m = i —i'/i 
und ganz analog flir F(i .i' . s) etc. 

Unsere nächste Aufgabe wird jetzt F, 0, H, ?*,. ü und V zu berechnen. 

Setzt man 



y Google 



iaQ - 1Xß[i. i'.c) cos (ie- >'K) + £S/3(i . i'.s) Bin (ie-fV) 
ar— = Yl.c(,i . i' . c| oos(;£ - iT) + 1.tc(i.i' . s) sin (iE - i'F) 

„■?^= XSrffi . i' . c) cos (i£ - i'F) + TZd(i .i'.s) sin (ic -i'F) 
»■«1 ^.=0^.-:; -«.-ö^ C.= 



2 cos '9) 2 cos '93 2 cos '9? 

C. = — 5 i^,-=- 2V. = ?£ 

2 cos '94 4 

wird 

ö(i.i'.:i-lAÄ' + i-'-n-^.i8(i.i'.;)+_^,^{i-i,i'.:)-l^^i-2.i*.;) + 

+ 2^(i-l.i'.;) + 
+ C,c(i+l.i'.:i - C,c(i . i' . ;) - C,c(! - 1 . i' . ;i + C,c(i - 2 . T . ;|-(?(i- 1 . i'. ;); 

H(i.i'.;)''^A^ß(i-i.f.:)-A,ß(_i.{.:)+A,ß(_i+i.{.:)-lA,ß(i + 2.{.;) + 

+ 3ß{i + l.i.c)- 
-C,c(i-1 .i'.:i + tV(i.i'.;) + CiC(i+li':)-C,c(i + 2.i'.;| + c(i+l .i.;); 

i'(i.i'.:) = -|{e(i+i.i'.;) + fl(i-i.i'.:))-«i.i'.:); 

Diese Formeln gelten auch für i' = 0. Dabei ist zu bemerken, dass es 
vorteilhaft ist diese F, G und U auch für negative i zu berechnen. Man 
braucht dann nicht die U und F zu berechnen, weil 

fl(i . . c) = - G(- i.o.c) F(i . . c) - - P(- i . . c) 
//(i.o.sl- G(-i.o.s) F(i.<i.s)= U(-i.o.s) 

Die später aufgestellte Kontrolle ist unter diesen Bedingungen ftir i* = 
anwendbar. 
P(i . i' ;) - A',d{i +1.1'.;)- NA' ■''.:> + N,<i{i - 1 . i' . ;) - 1 A'.rfO' - 2 . i' .;) 4- 



F(i. i'.:)--A'',rfO-l ■''•:) + A',rf{i.i'. ;)-*;<!+ l.i'.;).|-i JV,<i(i +2.1'.;) - 

-^* + i. .■■.:); 

r(i .;'.',) = - U{i +l.i'.:)- V(i - 1 . i' . 0; 
Ich habe den F, (? etc eine etwas andere Form als Hanaen gt^bea, 
was die Rechnung bequemer macht. 



y Google 



i.-i- 


F( 


.i-.e) 


Fii.i-.s) 


G(i.i'.c) 


G<,-. .■'.«) 


li(i.i-.c) 


H(i.i-.») 


TXi.i'.c) 


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011 

oofi 



Eine Kontrolle bekommt man durch Summining voriger Gleichungen. 

Ta(i ■ •' ■ y = I A'^ß (i +1 . •' . :) - A'^ßif ■•':) + AtXß(i - 1 ..-.;) - 

-~AXß(i - 2 • •' . a + 25jS{!- 1 . i' . ;) + C,tc{i + l.f.;)- 

- c,x<K' ■■';)- cXc{' - 1 . i' . :) + c,Tc(> -2.1'.:)- 

- Zc(> - 1 . i' . ;i 
der 1.0(i .i.:) = llj,-A,+ A,~^-A, + 2) .S«< .•'.;) 



+ (C, -C,-C,+Ci-l).Xc(i..'.;) 



rö(! . ! 



,2(1-^) 



Z«i..'.;)-Zc(i 



• ;) 



'ZU(i.i'.:) 

ZT(i.i.:) 



cos 'qs 

GOß ■'y ( ( 



-SF(i, 



.;) = 



g-g)' 



- X cr(i + 1 . i' i :) - x F(i - 1 . i' . = 



Diese Kontrolle ist aus demselben Grund, den ich pf^. (61) erwähnt, nicht 
allein genügend. AIb zweite Kontrolle habe ich fQr t = 3 nach i' summirt. 

Folgende Tabellen zeigen die Qenauigkeit der Rechnung. Mit "Reihe" ver- 
stehe ich die linken und mit "Direkt" die rechten Seiten der verschiedenen Kon- 
trollgleichungen. Die Abweichungen zwischen 'Reihe" und "Direkt" sind hie 
und da ziemlich gros«, doch nicht grösser, als dass die Rechnung als hinläng- 
lich gut angesehen kann. 



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78 






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74 

Wenn wir integriren, bekommen wir P, Q etc.; sieh pag (63). Ehe wir 
die numerischen Werte dieser Quantitäte angeben, wollen wir zeigen, wie sie 
kontrolHrt werden. 

Setzen wir in der Gleichung für Y{i .i' .\) auf die rechte Seite statt 
jf\i.i'.*) dessen Wert in U und V ausgedrückt, ergiebt sich 

__ mi+i.i'.:) _^ va-i.r.f) 

m(m + 1) m{m — 1| 

_i i_ U{i+i.i'.'.) _^ v{i-\.r.:) \ 

m\ m+l m— 1 / 

also 

m 

Diese Formel ist als Kontrolle angewandt, kontrollirt natürlich aber nur, 
wenn vorher alle U und V kontrollirt sind. 

Berechnet man also Y{i .i' .',) nach beiden Formeln, werdea dadurch bo- 
wohl Y(i.i'.'.) wie Wii.i'.'i) kontrollirt. 

Setzen wir 

n{i . f' . ;i = -[F{i .{'.:) + G{i + 1 . i' . ;) + B(i -i.i'. ;)] 

m 
und berechnen II[i . i' . '.), so ist dies eine Kontrolle von I\i .?".;) und ^(t . f . ;), 
da es ersichtlich ist, dass 

Hii . i' . \) = PC* .t •:) + S{i J .'.) 
Auch die Kontrolle von P und S fordert, dass vorher die F, G und H 
kontrollirt sind. 

Wir haben einerseits 

_^AF(i)^AG{i + l)^ JH{i - l) ^ AQ(i) 

m m + l m—l m 

_AF(i)^ JGii+ l) ^ AHii- 1)^1 f AG{i + l)_ JB(i- 1) | 

m m + l m — l m\ m + l m — 1 ' 

_JF(i)^ AGii + l) _^ ABii - 1) 

m m m 

Anderseits haben wir 

Mit) - i [AF(i) + AG{i + \) + AHii - 1)] 



y Google 



75 

Also ein Fehler in F, G oder H bewirkt einen gleich grossen Fehler in 
n{i) nach beiden Formeln, was auch von vornherein evident ist, da man leicht 
von einer Formel zur anderen durch eine einfache algebraische Transformation 
kommen kann. So auch mit der Kontrolle von Y. 



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mjJ(.'.!.;)»f(.'..'.y-^fl:i+i..-.;)-Lil(.--i.j'.;) 



■Lmlt(i . f . :) = Sfl;; . i' . ;) - 1 Sfl;; 4 1 . i' . a - g Sl^i - 1 . .' . y 



2i»B{i . i' . ;) - (1 - e)Si1(/ . f . ;) 

welche Gleichung eine Kontrolle der 7i-Koef£zienten ist. Für /' = wird sie 
etwas verechieden; 

i?(O.O.c) + Bi?(i . . <) -(1 -f)2fl;i.0.c) . 



X; ß(; . . s) = (1 - f)^/!/ . . s) +1 ii:i . .«) 



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da ausgeführt. Die Formel sieh Hansen 11 pag. 70. 



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a-11 


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+§:: 



In Folge dea kleinen Divisors 3-8// war die BeBtimmung der Konstanten 
sehr mühsam und forderte mehrere Aproximationen. In den zwei ersten habe ich 
dabei nur mit ganzen Sekunden gerechnet. Die Konstante c ist naturlich unter 
diesen Umständen sehr unsicher. Ehe ich diese Rechnung fortsetze, was ich 
beabsichtige, glaube ich, dass es angemessen ist die Glieder mit dem Argumente 



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